Produit scalaire

[Jule]

Bonjour j'aurais besoin d'aide svp pour l'exercice suivant dans les produit scalaires dont j'ai vu en cours les propriété de base et dans un plan
Voici l'exercice
Soit un cercle de centre O, de rayon R et M un point n'appartenant pas à ce cercle.
1. Une droite D passant par M rencontre (C) en A et B. On désigne par E le point diamétralement opposé à A
sur (C). Faire deux figures illustrant les données, l'une avec M extérieur à (C) et l'autre avec M intérieur à
(C).
Montrer que
MA .MB =MA .ME = MO² - R²
J'ai prouvé que MA .MB =MA .ME grâce au projeté orthogonal
J'ai essayé différente piste en insérant O avec la relation de chasle dans ME et MA mais sans résultat.
On ma donné comme indice d'utilisé MA.ME = MO.ME+OA.ME
Mais j'avais essayé et n'était arrivé à rien

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Jules,

Pense que :
\((\vec{MO}+\vec{OA})(\vec{MO}+\vec{OE})=\vec{MO}\vec{MO}+\vec{MO}\vec{OE}+\vec{OA}\vec{MO}+\vec{OA}\vec{OE}\)
Pense alors que \(\vec{OE}+\vec{OA}=\vec0\) et que O est le milieu de [AE] ; conclus.

Bon courage pour la suite.

[Jules]

Merci beaucoup j’étais passé à coté.

[Jules]

J'ai la question suivantes qui s'ajoute
B. Application n°1 : "Médiane de l'un, hauteur de l'autre"
On donne un cercle (C) et les points A, B, C et D de C tels que les droites
(AB) et (CD) soient orthogonales et sécantes en M.
Montrer que la médiane issue de M dans le triangle MAC est orthogonale à (BD).
(c'est donc la hauteur issue de M dans le triangle MBD)
J'ai tenté avec mes connaissances mais je n'est trouvé aucune solution à ce problème.
J'ai voulu voir avec des propriétés géométrique mais je n’aboutis à rien et je ne vois pas comment utilisé les produit scalaire dans ce problème
Pourriez vous m'aidez merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
Tes points sont sur un même cercle donc le théorème de l'angle inscrit te permet de dire que \(\widehat{BDC}=\widehat{CAB}\) et
\(\widehat{ABD}=\widehat{ACD}\) donc tes triangles sont semblables (ils ont les mêmes angles) donc leur côtés sont proportionnels.
donc \(\frac{MC}{MB}=\frac{MA}{MD}\) ce qui s'écrit aussi : \(MC.MD=MB.MA\).
Par ailleurs, si on note I le milieu de [AC], [MI] est la médiane du triangle et par définition de celle-ci :
\(\vec{MI}=\frac{1}{2}(\vec{MA}+\vec{MC})\).
On évalue ensuite le produit scalaire : \(\vec{MI}.\vec{BD}=\frac{1}{2}(\vec{MA}+\vec{MC}).(\vec{BM}+\vec{MD})\)
Développe tout cela, utilise l'orthogonalité des droites et la relations obtenue plus haut, pour aboutir à 0.
Bon courage

[Jules]

Merci beaucoup

[sos-math(20)]

Bonjour et à bientôt sur SOS-math.