produit scalaire, exercice

[Nina]

Bonjour, voilà j'ai un exercice à faire quer voici :

Soit A( - 1 ; 2 ) et B ( 5 ; 3 ) deux points du plan.
En utilisant le produit scalaire, déterminer les équations suivants :
1. Equation affine de la droite D' médiatrice du segment [AB].
2. Equation de la forme (x - a)² + (y - b)² = r² du cercle de diamètre [AB]. En déduire le centre et le rayon.
3. Equation cartésienne de la tangente en A au cercle de centre O et de rayon OA.

Je les fais et j'aimerai savoir si mes réponses sont justes :

Première question :
A(-1;2) et B(5;3)
AB = (xB-xA / yB-Ya) = (5+1 / 3-2)= 6 / 1 soit les coordonnées de AB sont (6;1).

D' est la médiatrice du segment [AB] => D' : ax + by + c = 0
I est le milieu de [AB].
M(x;y) est sur cette médiatrice que si (IM) et (AB) sont perpendiculaires autrement dit si IM.AB=0.

Donc calcul des coordonnées du point I =>
xA+xB/2 = -1+5/2 = 4/2 = 2.
yA+yB/2 = 2+3/2=5/2
I a pour coordonné (2;5/2).

donc IM.AB=6(x-2)+1(y-5/2).

IM= 6(x-2)+1(y-5/2)=0
=6x -12 + y -5/2=0
=6x-29/2+y=0

Deuxième question :
L’équation du cercle de diamètre [AB] est :
(x-xA)(x-xB)+(y-yA)(y-yB)=0
(x+1)(x-5)+(y-2)(y-3)=0
x²+y²-4x-5y+1=0

x²+y²-2ax-2by+a²+b²-r²=0

Donc :
-2ax=-4x
-2a=-4
a=-4/-2=2

-2by=-5y
-2b=-5
b=5/2

a²+b²-r²=1
2²+(5/2)²-r²=1
4+25/4-r²=1
-r²=1-4-25/4
-r²=-37/4
r=racine de -37/4

Donc le centre du cercle est (2;5/2) et le rayon est racine de -37/4.

Troisième question:
Le centre du cercle a pour coordonnées (2;5/2).
Donc l’équation de la tangente s’écrit 2x+5/2y=0

Merci de bien vouloir m'aider

[sos-math(19)]

Bonjour Nina,

Question 1 : l'équation est correcte, mais attention à l'utilisation du symbole d'égalité, car \(\vec{IM}\) n'est pas égal à \(6x+y-\frac{29}{2}\).

Question 2 : \(a\) et \(b\) sont corrects, tu retrouves d'ailleurs les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\). Pour \(r\), il s'agit de la racine carrée de \(\frac{37}{4}\) et non de son opposé (un nombre négatif n'a pas de racine carrée).

Question 3 : l'équation est fausse. Commence par donner une condition vectorielle utilisant le produit scalaire et traduisant la question. Ensuite, la traduction analytique de ce produit scalaire fournira l'équation demandée.

Bonne continuation.