Volumes

[Gilles]

Bonjour,
j'ai un exercice où je bloque un peu car j'ai du mal avec les espaces et les volumes.
On considère un cube ABCDEFGH d'arete de longueur 4.
On note I le centre de la face ADHE, J celui de la face ABCD et K le milieu du segment [IJ].
L'espace est rapporté au repère orthonormal (A;(1/4)\(\vec{AB}\),(1/4) \(\vec{AD}\),(1/4)\(\vec{AE}\))

1) Déterminer les coordonnées des points I,Jet K dans ce repère.
2) Démontrer que les points A,C et K ne sont pas alignés.
3a) Démontrer que le plan médiateur du segment [IJ] est le plan (AKG)
b) Déterminer une equation cartésienne du plan (AKG)
c) Vérifier que le point D appartient au plan (AKG)
4) On veut montrer que K est barycentre de A,D et G.
Soit L le centre du carré DCGH
a) Démontrer que K est le milieu de [AL].
b) Démontrer que K est le barycentre de A,D et G affectés de coefficients que l'on précisera.
5) Soit R symétrique et orthogonal de J par rapport au plan (EFGH) et le vecteur \(\vec{u}\)=(1/2) \(\vec{AE}\)+(1/4)\(\vec{FC}\)-(3/4)\(\vec{HF}\).
a) Déterminer les coordonnées de R et \(\vec{u}\), ainsi qu'une représentation paramétrique de la droite D passant par R de vecteur directeur \(\vec{u}\).
b) Déterminer l'intersection de D et du plan (AKG).
c) Calculer la distance R au plan (AKG)
d) Déterminer l'intersection du plan (AKG) avec la sphere de centre R et de rayon 6. En déterminer tous les éléments

Voici ce que je propose :
1) I(0;2;2)
J(2;2;0)
K(1;2;1)
2) Il faut déterminer que \(\vec{AG}\) et \(\vec{AK}\) sont non colinéaires.
On trouve \(\vec{AG}\)(4;4;4) et \(\vec{AK}\)(1;2;1)
Or 1/4 n'est pas égal à 2 donc ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc A,G et K ne sont pas alignés.
3a) P plan médiateur de [IJ]<-> P et \(\vec{IJ}\) orthogonaux et K appartient à P
Mais ensuite je ne vois pas comment conclure à cette question
3b) \(\vec{IJ}\) (2 ;0 ;-2)est un vecteur normal à plan (AKG) donc on a :
2x-2z=d
Et comme K appartient à (HKG) et \(\vec{IJ}\) passe par K on trouve :
(AKG) : 2x-2z=0
3c) On vérifie et ça correspond
4a) pas de problème
4b) pas de souci on trouve (K,4) barycentre de (G,1), (D,1) et (A,2).
C’est pour la e) que je bloque .
Merci d’avance et bonne journée.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Gilles,

Je ne vois pas de question 4 e) ...

A tout de suite, le reste me semble correct.

[Gilles]

Bonsoir,
Non en fait c'est pour la question 5 que je bloque.
Merci d'avance

[SoS-Math(11)]

Re Bonsoir,

Les coordonnées de R sont (2, 2, 8).

Calcule les coordonnées de \(\vec{u}\) et déduis-en le système qui définit la droite D si et seulement si \(\vec{MR}=t\vec{u}\).

Ce qui va te donner un système de trois équation de paramètre t.

Bonne continuation

[Gilles]

En fait ce que je n'arrivais pas c'était de trouver les coordonnées de R. Comment avez vous procédé?
Merci d'avance.

[Gilles]

J'ai aussi beaucoup de mal pour les coordonnées du vecteur u.
Pour la côte pas de souci je trouve 2 mais pour le reste je ne vois pas du tout.
Merci d'avance et bonne soirée.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

R est le symétrique de J par rapport à EFGH, donc on trace l'axe du cube passant par J, il est perpendiculaire à EFGH et passe par le centre J' de EFGH puis on reporte sur cet axe, la distance JJ' de l'autre côté du plan.

A tout de suite

[SoS-Math(11)]

Re,

Pour \(\vec{u}\), tu as \(\vec{u}=\frac{1}{2}4\vec{k}+\frac{1}{4}(4\vec{i}-4\vec{k})+\frac{3}{4}(4\vec{i}-4\vec{j})\) déduis-en le coordonnées de \(\vec{u}\).

Tu peux en déduire le système d'équations paramétriques, de paramètre t, de la droite D.
Puis tu remplaces x(t), y(t) et z(t) dans l'équation du plan AKG tu peux ainsi calculer t et en déduire le point d'intersection.

Bonne continuation.

[Gilles]

Merci, je pense avoir compris mais pour le vecteur u n'est-ce pas plutot à la fin (3/4) (4j(vect) -4 i(vect) ?
Merci d'avance.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

\(\vec{HF}=\vec{HG}+\vec{HE}=4\vec{i}+4(\vec{-j})=4\vec{i}-4\vec{j}\).

Bonne fin d'exercice

[Gilles]

En fait j'avais compris. Comme j'avais transformer HF et GF car c'est -HF ça donne ce qu'il faut.
Sinon pour être sur de ne pas avoir fait d'erreur j'ai trouvé u(-2;3;1) cela vous semble t -il correcte?
Merci et bonne soirée.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Il me semble qu'hier j'avais trouvé la même chose.

Bonne fin d'exercice