projection orthogonale

[Cédric]

Bonjour,
Je sais que si je calcule le produit scalaire de deux vecteurs dans un plan, je peux projeter orthogonalement l'un des vecteurs sur l'autre pour calculer le produit scalaire : exemple : si EFGH est un carré alors vect(EF) . vect(HF)
= vect(EF) . vect(EF) = EF^2 puisque vect(EF) est le projeté orthogonal de vect(HF) sur la droite (EF).
Supposons maintenant que nous ayons 4 points distincts et non coplanaires de l'espace A, B, C et D.
Puis-je encore utiliser cette technique ? A savoir, si C' et D' sont les projetés orthogonaux de C et D sur (AB) est-ce qu'on a encore : vect(AB) . vect(CD) = vect(AB) . vect(C'D') ???
Merci beaucoup,
Cordialement,
Cédric

[SoS-Math(2)]

Bonjour Cédric,
pour appliquer la règle du projeté orthogonal, vous pouvez vous placer dans un plan.
Pour cela considérez le point E tel que $\vec{AE}= \vec{CD}$
Et dans ce cas, vous travaillez dans le plan ABE

Maintenant pour répondre à votre question:
considérons E le projeté orthogonal de C sur (AB) alors les vecteurs $\vec{CE}$ et $\vec{AB}$ sont orthogonaux.
De même avec F projeté orthogonal de D sur (AB)
$\vec{AB}.\vec{CD}=\vec{AB}.(\vec{CE}+\vec{EF}+\vec{FD})$ =$\vec{AB}.\vec{CE} + .......$
A vous de continuer

A bientôt

[Cédric]

Bonsoir,
finalement, vect(AB) . vect(CD) = vect(AB) . vect(EF) et la technique de projection marche encore dans l'espace.
Merci beaucoup,
Cédric

[SoS-Math(9)]

A bientôt Cédric,
SoSMath.