suite par recurrence

[stephane]

Bonjour,

Un>1
U(n+1)=ln(Un+1)+(1/2)Un²

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel U, Un>1

je suis a l'hérédité au stade ou il faut développer Un>1 pour avoir ln(Un+1)+(1/2)Un²>1 mais je n'y arrive pas

je fais

ln(Un)>ln(1)
2ln(Un)>O
ln(Un²)+ln(1/2)>ln(1/2)
ln(1/2 Un²)>ln(1/2)
(1/2)Un²>1/2

[SoS-Math(11)]

Bonjour Stéphane,

Pour la condition initiale, que vaut \(u_0\) ou \(u_1\) ?
Pour l'hérédité, si \(u_n\geq{1}\) alors \(1+u_n\geq{2}\) or ln(2)>0,5 et \(\frac{1}{2}u_n\geq{\frac{1}{2}\) donc la somme des deux doit faire plus que 1.

Bonne continuation

[stephane]

Uo=1

ln(Un+1)+(1/2)Un²

je fais d abord
Un>1
Un+1>2
ln(Un+1)>ln2

d'une autre part
ln(Un)>ln(1)
2ln(Un)>O
ln(Un²)+ln(1/2)>ln(1/2)
ln(1/2 Un²)>ln(1/2)
(1/2)Un²>1/2

et fait la somme des deux inequations

(1/2)Un² + ln(Un+1) > 1/2 + ln(2)
(1/2)Un² + ln(Un+1)> 1,2

mais je ne trouve pas 1

[SoS-Math(2)]

Bonjour ,
si un nombre est supérieur à 1,2 il est aussi supérieur à 1 puisque 1,2 est lui-même supérieur à 1!
U(n+1)>1,2>1 donc U(n+1)>1

A bientôt sur SoS-Math