Suite et convergence

[Thomas]

Bonsoir,
j'ai un exercice à faire pour demain où j'ai bien avancé mais où je bloque:
Soit (\(u_{n}\)) la suite définie sur N par \(u_{0}\) = 4 et \(u_{n+1}\)= \(\sqrt{Un}\) .
On veut démontrer que (\(u_{n}\)) converge vers 1.

1) Démontrer par récurrence que, pour tout n appartenant à N, on a \(u_{n}\)\(\geq\) 1.
Pas de problème pour cette question.
2) a)Vérifier que pour tout n de N, on a :
\(u_{n+1}\) -1 = (\(u_{n}\) -1)/( \(\sqrt{Un}\)+1)
b)En déduire que pour tout entier naturel n, on a :
\(u_{n+1}\) -1\(\leq\)1/2(\(u_{n}\) -1)
2a) Je propose de calculer ( \(u_{n+1}\) -1) (\(\sqrt{Un}\) +1) et on trouve bien \(u_{n}\) -1
2b) jai dit que pour tout n appartenant à N, \(u_{n+1}\)\(\geq\) 2
or \(u_{n+1}\)= (\(u_{n-1}\) -1/(\(\sqrt{Un}\) +1)= (\(u_{n}\) -1)/ (\(u_{n+1}\) +1)
donc on a ce qu'il faut démontrer.
3a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a | \(u_{n}\) -1|\(\leq\) 3/(2^n)
3b)Conclure à propos de la convergence de la suite (\(u_{n}\)).
Je n'arrive pas pour ces deux questions, j'arrive à l'hérédité pour la 3a) et je bloque complétement.


Merci d'avance

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Thomas,

Pour l'hérédité tu dois utiliser le fait que \(u_{n+1} -1\leq\frac{1}{2}(u_{n} -1)\).
Si \(|u_{n} -1|\leq \frac{3}{2^n}\) tu peux en déduire la majoration de \(u_{n+1}\).
Ensuite il ne reste plus qu'à conclure.

Bonne continuation

[Thomas]

D'accord, mais elle est donc majorée par 1,non?

[SoS-Math(11)]

Re bonsoir,

Elle est plutôt minorée par 1, car \(u_n\) est supérieur à 1.

De plus tu peux connaître la limite de \(u_n-1\) quand n tend vers l'infini et ainsi en déduire celle de \(u_n\).

Bonne fin d'exercice