Bonjour,
J'ai un exercice dans mon livre (qui est d'ailleurs corrigé à la fin) mais que je ne comprends absolument pas. Voici l'énoncé :
Dans le plan complexe, déterminer géométriquement l'ensemble des points M d'affixe z tels que :
(z+2i)/(z-4i) est réel.
réponse du livre : (z+2i)/(z+4i) réel équivaut à M = A ou (vect.MB. vect.MA) = Kpi avec K appartient à Z ; l'ensemble cherché est la droite (AB) privée de B.
Je ne comprends pas du tout et j'aurais besoin de vos explications et de la démarche que je dois suivre pour arriver à ce résultat.
Avec tous mes remerciements pour votre aide.
nombre complexes ensemble de points
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SoS-Math(11)
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Re: nombre complexes ensemble de points
Bonsoir Marie,
La réponse du livre est relative à une méthode qui fait appel à un résultat du cours "l'argument du quotient est égal à la différence des arguments"
Si le résultat du quotient est réel, cela signifie que l'argument est k pi. Or z + 2i = z -(-2i) qui est l'affixe d'un vecteur AM, et z + 4i = z -(-4i) est l'affixe d'un vecteur BM conclusion, M est sur la droite (AB). Il ne peut être en B sinon le dénominateur serait égal à 0. Ici (AB) est l'axe des ordonnées car A et B ont des affixes imaginaires (-2i et -4i)
Tu as de plus l'angle AMB = pi si M est entre A et B, et 0 si M est à l'extérieur du segment [AB].
L'autre méthode consiste à utiliser la forme algébrique : \(z^,=\frac{x+(y+2)i}{x+(y+4)i}\) tu multiplies le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée de \(x+(y+4)i\) qui est \(x-(y+4)i\)tu développes le numérateur et le dénominateur.
Tu dois trouver un réel au dénominateur.
Pour que le résultat \(z^,\) soit réel il faut que la partie imaginaire du numérateur soit nulle, ce qui dois te donner une équation de droite. Ensuite tu dois enlever le point qui annule le dénominateur (à savoir B)
Bonne continuation
La réponse du livre est relative à une méthode qui fait appel à un résultat du cours "l'argument du quotient est égal à la différence des arguments"
Si le résultat du quotient est réel, cela signifie que l'argument est k pi. Or z + 2i = z -(-2i) qui est l'affixe d'un vecteur AM, et z + 4i = z -(-4i) est l'affixe d'un vecteur BM conclusion, M est sur la droite (AB). Il ne peut être en B sinon le dénominateur serait égal à 0. Ici (AB) est l'axe des ordonnées car A et B ont des affixes imaginaires (-2i et -4i)
Tu as de plus l'angle AMB = pi si M est entre A et B, et 0 si M est à l'extérieur du segment [AB].
L'autre méthode consiste à utiliser la forme algébrique : \(z^,=\frac{x+(y+2)i}{x+(y+4)i}\) tu multiplies le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée de \(x+(y+4)i\) qui est \(x-(y+4)i\)tu développes le numérateur et le dénominateur.
Tu dois trouver un réel au dénominateur.
Pour que le résultat \(z^,\) soit réel il faut que la partie imaginaire du numérateur soit nulle, ce qui dois te donner une équation de droite. Ensuite tu dois enlever le point qui annule le dénominateur (à savoir B)
Bonne continuation
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marie
Re: nombre complexes ensemble de points
Merci beaucoup pour votre réponse très détaillée. Je vais l'étudier et si j'ai un quelconque souci, je reviendrai vous questionner. Merci beaucoup et bonne soirée.
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marie
Re: nombre complexes ensemble de points
Pour la première partie, j'ai compris. Mais pour la deuxième possibilité, avec l'expression conjuguée, je n'y arrive pas. Tout d'abord, l'expression conjugée ne serait-elle pas plutôt : x - i(y-4) vu l'énoncé de départ ? Je n'arrive pas à trouver le résultat que vous me dites c'est-à-dire un réel au dénominateur. Pouvez-vous encore m'aider ? Merci beaucoup.
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SoS-Math(11)
- Messages : 2881
- Enregistré le : lun. 9 mars 2009 18:20
Re: nombre complexes ensemble de points
Bonsoir Marie,
Le conjugué de \(a+ib\) est \(a-ib\), si \(b=y+4\) il ne change pas quand tu prends le conjugué. Donc le conjugué est bien \(x-i(y+4)\)
Le dénominateur est égal à \((x+i(y+4))(x-i(y+4))=x^2-(i(y+4))^2\) en utilisant l'identité \((A+B)(A-B)=A^2-B^2\), d'où le dénominateur est égal à \(x^2+(y+4)^2\) qui est réel.
Le numérateur est \((x+i(y+2))(x-i(y+4))=x^2+(y+2)(y+4)+i(x(y+2)-x(y+4))\) termine le calcul de la partie imaginaire, il doit te rester un seul terme.
Pour que \(z^,\) soit réel il faut que ce terme soit nul, cela te donne l'équation d'une droite, (de l'axe des ordonnées !).
Bonne continuation
Le conjugué de \(a+ib\) est \(a-ib\), si \(b=y+4\) il ne change pas quand tu prends le conjugué. Donc le conjugué est bien \(x-i(y+4)\)
Le dénominateur est égal à \((x+i(y+4))(x-i(y+4))=x^2-(i(y+4))^2\) en utilisant l'identité \((A+B)(A-B)=A^2-B^2\), d'où le dénominateur est égal à \(x^2+(y+4)^2\) qui est réel.
Le numérateur est \((x+i(y+2))(x-i(y+4))=x^2+(y+2)(y+4)+i(x(y+2)-x(y+4))\) termine le calcul de la partie imaginaire, il doit te rester un seul terme.
Pour que \(z^,\) soit réel il faut que ce terme soit nul, cela te donne l'équation d'une droite, (de l'axe des ordonnées !).
Bonne continuation
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marie
Re: nombre complexes ensemble de points
Bonjour,
Merci beaucoup pour vos explications. Grâce à vous, j'ai enfin compris. Bonne journée.
Merci beaucoup pour vos explications. Grâce à vous, j'ai enfin compris. Bonne journée.