utilisation de suites auxiliaires

Retrouver tous les sujets résolus.
Verrouillé
Gilles

utilisation de suites auxiliaires

Message par Gilles » lun. 10 janv. 2011 12:34

Bonjour,
j'ai un exo à faire sur les suites mais je ne le comprend pas.
La suite (un) est définie, pour tout entier naturel n, par : u0 = 1/2 et un+1 = (8un+3)/(un +6)

1a) Démonter par récurrence que, pour tout entier n>(ou égal) 0, on a 1<un<3.
b) Montrer que (un) est croissante.
2) On considère la suite (wn) définie pour tout entier naturel n, par wn= (un-3)/(un+1)
a) Démontrer que (wn) est géométrique, préciser son premier terme et sa raison.
b) Quelle est la limite de (wn)
3) Exprimer, pour tout entier naturel n, unen fonction de wn.
En déduire le comportement de un en l'infini.

Le problème c'est que je ne vois pas du tout par où commencer car on a pas Un mais Un+1. Est-ce une suite géométrique ou arithmétique? Ces questions sont les principales causes de mon blocage.
Merci d'avance
Gilles
sos-math(21)
Messages : 10401
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: utilisation de suites auxiliaires

Message par sos-math(21) » lun. 10 janv. 2011 14:14

Bonjour,
Ta suite est une suite définie par récurrence et elle n'est pas arithmétique ni géométrique.
Elle de la forme un+1=f(un) avec f(x)=8x+3x+6
Etudie la sens de variation de ta fonction associée sur l'intervalle [1,3] (celui qui nous intéresse), (elle est croissante il me semble) et détermine l'image de l'intervalle [1;3] par cette fonction, il doit être inclus dans [1;3].
Ensuite fais une récurrence pour prouver la propriété suivante:nN,1<un<3
initialisation : u1=14/13 donc il est bien dans [1;3];
hérédité : si on suppose pour un entier n>0 que 1<un<3, alors f(1)<f(un)<f(3) car f est croissante sur cet intervalle.
Et on aura un+1=f(un) qui sera aussi dans l'intervalle [1;3] car [f(1);f(3)]est inclus dans [1;3].
Voilà pour la première question.
Pour la suite (sens de variation), tu peux étudier le signe de la différence un+1un
Gilles

Re: utilisation de suites auxiliaires

Message par Gilles » lun. 10 janv. 2011 14:16

Bonjour
1)a) je pense avoir compris le début :
Initialisation
pour n=1 ; U1 = 14/13 donc (H1) est vraie.
Hérédité : je trouve que 11/7 <Un+1< 3 donc (Hn+1) est vraie donc (Hn) l'est aussi car 1< 11/7
1)b) On calcule Un+1 -Un = (8Un+3)/(Un+6) - Un
= (8Un+3 - Un(Un +6))/(Un+6)
Mais ensuite je trouve des Un² ce qui n'est pas normal, non?
2a) Je calcule Vn+1 et je trouve en remplaçant les Un+1 par sa valeur, Vn+1 = (5Un+15)/(9Un+9) donc Vn+1 = 5/9 Vn
On calcule Vn+1 / Vn et on a 5/9 donc q=5/9
Pour trouver le 1er terme je trouve : V0 = Vn/q
= (9Un-27) / (5Un+5)
après cela je sais pas vraiment quoi faire pour cette question.
2b) q=5/9 donc 0<q<1 donc lim en +oo Vn = 0

Pour la 3 je ne vois pas du tout
Cordialement
Gilles
sos-math(21)
Messages : 10401
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: utilisation de suites auxiliaires

Message par sos-math(21) » lun. 10 janv. 2011 14:26

Dans ta différence, tu obtiens une expression avec des u2n au numérateur, ce qui n'est pas grave. On s'intéresse au signe de cette différence, donc on étudie le signe du numérateur uniquement ( le dénominateur est positif) : on étudie donc le signe de u2n+2un+3 qui est un trinôme du second degré : on étudie donc le signe de x2+2x+3 avec le discriminant (delta outillage !)
Pour l'expression de un, il s'agit d'inverser la relation : tu avais wn=un3un+1, il s'agit d'obtenir une égalité du type un=... avec une expression où il y a du wn : mets tout à plat, factorise par un et divise...
Gilles

Re: utilisation de suites auxiliaires

Message par Gilles » lun. 10 janv. 2011 14:33

Merci bien déjà de m'avoir aidé, je me suis trompé en fait mes Vn sont des Wn donc voià ca que je trouve:
Je calcule Wn+1 et je trouve en remplaçant les Un+1 par sa valeur, Wn+1 = (5Un+15)/(9Un+9) donc Vn+1 = 5/9 Vn
On calcule Wn+1 / Wn et on a 5/9 donc q=5/9
Pour trouver le 1er terme je trouve : W0 = Wn/q
= (9Un-27) / (5Un+5)
après cela je sais pas vraiment quoi faire pour cette question.
2b) q=5/9 donc 0<q<1 donc lim en +oo Wn = 0
est-ce juste ?
Gilles

Re: utilisation de suites auxiliaires

Message par Gilles » lun. 10 janv. 2011 14:38

je trouve Un = (3Wn+1) /(Wn-1)
Concernant le comportement à l'infini de Un comment faut-il que je m'y prenne?
Merci d'avance
Gilles
sos-math(21)
Messages : 10401
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: utilisation de suites auxiliaires

Message par sos-math(21) » lun. 10 janv. 2011 14:54

Plusieurs remarques :
- w0, s'obtient en remplaçant un par u0 dans l'expression définissant wn;
- si on suppose que ton expression de un est juste (je n'ai pas vérifié), en passant à la limite, wn tend vers 0, il reste limn+3wn+1wn1=0+101=1
En fait je ne trouve pas cette expression pour un.
Reprends ton calcul puis la méthode est la même pour trouver la limite de un
Gilles

Re: utilisation de suites auxiliaires

Message par Gilles » lun. 10 janv. 2011 19:59

Merci bien pour vos remarques:
donc je trouve W0= -5/3
En effet pour Un je trouve: Un = (-Wn-3)/(Wn-1)
Donc lim (en +oo) Un = 3
Cela me semble plus correcte.

Gilles
sos-math(21)
Messages : 10401
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: utilisation de suites auxiliaires

Message par sos-math(21) » lun. 10 janv. 2011 21:29

Cela me semble plus correct.
Bon courage
Verrouillé