Résoudre un problème de programmation linéaire

[Loïc]

Bonjour,

Je fais appel à vous car je bloque sur une question :

Alors voici déjà ce que j'ai fait ainsi que l'énoncé :

A)1)a)
On suppose que x=30 et y=50
A->X
1*30 = 30 mètres
4*30 = 120 heures
5*30 = 150 €

B->y
1.5*50 = 75 mètres
2*50 = 100 heures
3*50 = 150 €

Total : 30 + 75 = 105 mètres de tissu
120 + 100 = 220 heures
150 + 150 = 300 €

A)1)b)

A->X
X = 60
1*60=60 mètres
4*60=240 heures
5*60=300 €

B->y
y = 80
1.5*80=120 mètre
2*80=160 heures
3*80=240 €

Total :
60+120 = 180 m
240+160 = 400 h
300+240 = 540 €

Cette situation n'est pas possible car l'atelier n'a que 150 m or avec cette configuration il en faut 180 m.

A->X
X = 80
1*80=80 m
4*80=320 h
5*80=400 €

B->y
y=40
1.5*40=60m
2*40=80 h
3*40=120 €

Total :
80+60 = 140 m
320+80 = 400 h
400 + 120 = 520 €

La configuration possible car l'on ne dépasse pas les quotas.

A)2)
Qté de tissu :

x*1 + y*1.5 = 150

Le nombre d'heure employées :

x*4 + y*2 = 400

Le bénéfice réalisé :

x*5 + y*3 = ?

C'est sur ce dernier point que je bloque, Je ne sais pas s'il c'est comme ça qu'il faut faire, mais sachant que l'on à pas de limite dans le bénéfice réalisé on met quoi comme chiffre.
De plus on ne peux pas avoir de nombre négatif dans les premières équations. donc je commence vraiment à douter de ma réponse.

Merci d'avance pour votre aide précieuse

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Loïc,

Il faut effectivement étudier les deux contraintes : la quantité de tissu et le nombre d'heures de travail. Le bénéfice n'est pas une contrainte, c'est un calcul que l'on effectue et que l'on cherche à rendre maximal.

Qté de tissu :

x*1 + y*1.5 \(\leq\) 150

Le nombre d'heure employées :

x*4 + y*2 \(\leq\) 400

Le bénéfice réalisé :

x*5 + y*3 = B

On va étudier les différents cas afin de chercher la valeur maximale que B peut atteindre.

Bonne recherche.

[Loïc]

Merci, je vais essayer de continuer seul.

Loïc

[SoS-Math(1)]

Bonjour Loïc,
Il faudra commencer par tracer des droites dont on connaît les équations.
A bientôt.

[Loïc]

Re-bonjour,
Je vais appel à vous pour m’assurer que mon résultat est juste, déjà est-ce c'est cela qu'il fallait faire ? Car je me suis lancé la-dedans sans en être sur :
A)3) {x + 1.5y = 70
{4x + 2y = 160

<=> {x = 70 - 1.5y (1)
4(70-1.5y) + 2y = 160 (2) }

On résout 2 :

<=>4(70-1.5y) + 2y = 160
<=> 280 - 6y + 2y = 160
<=> -4y = 160 - 280
<=> y = -120/-4
<=> y = 30

On remplace dans 1 :

x = 70 -1.5 * 30
x = 70 - 45
x = 25

On remplace dans l'équation du bénéfice :

5x + 3y = B
5*25 +3*30 = B
125 + 90 = 215

Avec 70 mètre de tissu et 160 heures de travail, on obtient 215 euros.

Merci d'avance

Cordialement

Loïc

[SoS-Math(9)]

Bonjour Loïc,

La méthode est correcte !

Bonne continuation,
SoSMath.

[Loïc]

Re-Bonjour,

j'ai réussi a faire les deux autres parties, cependant je bloque sur la D)1) a et b

a la 1)a j'ai mis :

sachant que le benefice est égale à l'équation suivant 5x + 3y = B

Alors on verifie avec les points A,B et C :

A(30;50)
5*30 + 3*50 =300
B(60;80)
5*80 + 3*40 = 520
C(80;40)
5*60 + 3*80 = 540

Seul les coordonnées du point A correspond à la situation ou le bénéfice est de 300 euros.

Mais je ne vois pas comment trouver l'équation de delta, j'ai déterminé le bénéfice maximum, mais si je fais cela je réponds à la dernière question, je pense qu'il y a une autre alternative pour y parvenir.

Dans l'attente de votre réponse,

Cordialement

Loïc

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Loïc,

Pour trouver l'équation de delta, il faut prendre deux points appartenant à delta (par exemple F et G) et déterminer le coefficient directeur de delta et son ordonnée à l'origine.
Rappel : coefficient directeur de (EF) : \(m=\frac{y_F-y_E}{x_F-x_E}\).

SoSMath.

[Loïc]

Bonjour,

Ok merci pour votre réponse, cependant j'ai un problème puisque pour appliquer votre technique je dois avoir 2 point et je ne connais qu'un point sur la droite delta, A ( 30;50 ), d'après mes calcules précédents.

Dans la question suivant on me parle de E et F mais on me donne seulement les abscisses, puis-je pour trouver les ordonnées appliquer ceci :

E(30;y)

5x + 3y = 300
5*30 +3y = 300
3y = 300 +150
y = 50

Merci d'avance

Loïc

[SoS-Math(9)]

Loïc,

Je pense que cela est possible.

SoSMath.

[:)]

bonjour je travaille actuellement sur le même devoir mais je suis bloquer à la question B)2). Une aide me serait très précieuse. Merci :)

[sos-math(21)]

Bonjour,
qu'est-ce qui bloque ?
si c'est l'inéquation \(2x+3y\leq\,300\) dans le système, il faut la transformer pour lui donner une tête de fonction affine
\(2x+3y\leq\,300\) donne \(3y\leq\,-2x+300\) soit \(y\leq\,-\frac{2}{3}x+100\)
Il faut alors tracer la représentation graphique de la fonction affine \(f(x)=,-\frac{2}{3}x+100\) et faire pareil pour l'autre inéquation.
Avec les deux inéquations du départ, cela fait quatre droites qui forment un polygone, le polygone des contraintes.
Et la solution optimale se trouve dans une extrémité de ce polygone, quand on balaye avec une certaine droite variable