suites, barycentres

[marianne]

Bonjour,
J'ai un exercice que j'ai résolu en partie mais la fin me pose quelques difficultés. Voici l'énoncé et mes réponses.
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, on donne les points A(1;-1) et B(5;3). On considère la suite (Gn) définie par G0 est en O et Gn est le barycentre de (G^ n-1;2) et (A;1) et (B;1). On note (xn; yn) les coordonnéess de Gn.
1°) Calculer les coordonnées de G1;G2 et G3. Placer ces points et démontrer qu'ils sont alignés.
mes réponses : G1(3/2;1/2) ; G2(9/4;3/4) et G3(21/8;7/8). vecteur G1G2 et G1G3 sont colinéaires dont G1,G2,G3 sont alignés.
2°) Prouver que pour tout n de N, G n+1 est l'image de Gn par une homothétie dont on précisera le centre et le rapport.
là, j'ai trouvé homothétie de centre M et de rapport 1/2 (2 MG^n + MA + MB = 4 MG^ n+1).
3°) Justifier que pour tout n de N, on a x n+1 = 1/2 x^n + 3/2. Ma réponse : x^n+1 - 3 = 1/2(x^n-3) ; x^n+1 = 1/2x^n + 3/2
4°) On pose x^n =u^n+3 pour tout entier N
a) Démontrer que (u^n) est une suite géométrique dont on donnera le 1er terme et la raison. J'ai trouvé suite géométrique de raison 1/2 et u^0 = -3
Est-ce bien cela ?
b) en déduire une expression simple de x^n en fonction de n. Là, je ne comprends pas trop. Je finis par trouver x^n = -3/2n. Mais je ne comprends pas bien. Pouvez-vous m'expliquer ? Plus je réfléchis, plus je m'embrouille... Comment faut-il que je fasse ?
c) Déterminer la limite de (x^n). Là, je trouve 3.
Merci encore de m'apporter des explications.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Marianne,

Je suis d'accord avec les réponses de la question 1. Pour la question 2, il faut que le point M soit un point fixe, il faut aussi une relation dans laquelle il n'y ait plus ni A ni B, c'est à dire une relation du type : \(\vec{IG_{n+1}}=k\vec{IG_n}\).
Il faut alors penser à remplacer les points pondérés A et B par leur barycentre.
Ensuite la réponse de la question 3) découle de la relation définissant l'homothétie. Ce que tu donnes comme réponse n'est pas prouvé, il ne s'agit que de la reprise de l'énoncé.
OK pour la question 4, Pense alors que pour les suites géométriques, \(u_n=u_0\times{q^n}\). Tu peux exprimer \(u_n\), donc en déduire \(x_n\).
Pour la limite, je pense que c'est juste.

Bon courage

[marianne]

Bonsoir,
J'ai bien lu vos réponses et vous en remercie. Je pense avoir compris dans l'ensemble mais je ne comprends toujours pas votre explication à la question 3) qui découle de l'homothétie. Pouvez-vous me donner quelques précisions ?

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Il faut trouver les coordonnées de I pour trouver les formules qui suivent. Donc il faut trouver I, et I dépend de A et de B.

Bonne continuation

[marianne]

Bonjour,
J'ai trouvé que I est milieu de (AB) ; j'ai calculé ces coordonnées et j'ai trouvé I (3;1). Ensuite, pour la question 3) pour laquelle je peinais, j'ai fait ainsi :
x G^n+1 - x I = 1/2 (xG^n - x I) ; j'ai donc trouvé x G^n+1 - 3 = 1/2(xG^n - 3) ce qui fait le résultat que l'on me demande en fait. Suis-je sur la bonne voie ?
Avec mes remerciements.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Oui c'est tout à fait cela, il fallait bien prendre le point I comme centre de l'homothétie, ensuite les calculs donnent bien ce qui est attendu dans l'énoncé.

Bon courage pour la fin