Dérivée d'exponentielle

[Marie]

Bonjour, j'ai unequestions de mon Dm que je ne comprends pas du tout...
Je dois déterminer le tableau de variation de la fonction f(x)= x / (1+e^1/x ) où f(0)=0
Je n'arrive pas à calculer sa dérivée.. Quelle formule dois je utiliser ? j'ai essayé u/v mais ca ne fonctionnne pas..
Pourriez vous me donner un cop de pouce s'il vousplait?! Merci d'avance !

[SoS-Math(9)]

Bonjour Marie,

La formule u/v doit en principe te permettre de calculer la dérivée ...
Il faut poser : u(x) = x et v(x) = 1 + e^(1/x).
A toi, de dérivée ces fonctions.
Rappel : \((e^u)^,=u^,e^u\).

SoSMath.

[Marie]

oui alors je l'avais fait, mais je trouve qqch qui me parait vraiment compliqué au final et non simplifiable:
( ( 1+ e^1/x ) + 1/x - x.e^1/x ) / ((1 + e^1/x) ^2)
Désolé, ce n'est pas très facile de taper des formules comme ca à l'ordinateur, mais jen'ai pas le logiciel.. :-s

[SoS-Math(9)]

Marie,

Pour taper des formules tu n'as pas besoin de logiciel, il suffit d'utiliser la balise TeX ci-dessus et de regarder le lien (à droite) "Ecrire des mathématiques en TeX".

Ta dérivée semble fausse ... donne moi u ' et v ' pour que je trouve ton erreur.

SoSMath.

[Marie]

Ah oui je n'avais pas vu! Merci!

u= x
u'= 1

\(v= 1+ e^{1/x}\)

v'= \(\frac{-1}{x^2} . e^{1/x}\)

ensuite je fais (u.v)' = u'.v - v'.u le tout sur v² ..

[SoS-Math(9)]

Marie,

Très bien pour le TeX !
Et très bien pour tes dérivées.

SoSMath.

[Marie]

Ma dérivée est juste alors..?
Maintenant pour faire le tableau de variation de je dois trouver les valeurs pour lesquelles elle s'annule. Mais c'est extremement compliqué vu la fraction que j'obtiens..

[SoS-Math(9)]

Marie,

Je ne pense pas que ta dérivée soit juste ...
Ton terme uv' est faux ...

Pour étudier ta fonction tu as besoin de l'ensemble de définition .... quel est cet ensemble ?

SoSMath.

[Marie]

Elle est définie sur R par:

f(x) = \(\frac{x}{1+e^{1/x}}\)

f(0) = 0

[SoS-Math(9)]

Marie,

Quelle est ta fonction dérivée ?

SoSMath.

[Marie]

bien justement, c'est ce que je ne trouve pas, vous m'avez dit qu'elle était fausse.. je ne comprends ou vous voulez en venir :-s

[SoS-Math(9)]

Marie,

Dans ta formule, u.v' = \(x\times{}\frac{-1}{x^2}e^{1/x}\) = \({}\frac{-1}{x}e^{1/x}\)

Or tu as trouvé : " 1/x - x.e^1/x ".

SoSMath.

[Marie]

Oui etben je développais: je faisais x multiplier par -1/x² et x multiplié par l'exponentielle...

[SoS-Math(9)]

Marie,

As-tu compris ton erreur ?
Tu confonds k(a+b) = ka +kb et k(ab) = kab.

Donc \(f^,(x)=\frac{1+e^{1/x}+\frac{1}{x}e^{1/x}}{(1+e^{1/x})^2}\).

SoSMath.

[Marie]

Ahh oui ca y est je vois !!! Merci!
Mais je dois chercher pour quelles valeurs de x le numérateur et le dénominateur s'annulent.. Y a t-il une astuce parce que là comme, a résoudre par le calcul ca ne me semble pas faisable.. Désolé de vous dérangeravec toutes mes questions..!