exo

[valentine]

Bonjours ,
est ce que quelqu'un peut m'aider?
soit f la fonction définie par f(x)=x / e^x - x
on note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé (o;i;j) du plan (unité graphique 5cm)

1) Soit Q la fonction définie sur par Q(x)=e^x -x-1
a) justifier que Q est dérivable sur R et calculer Q'(x) pour tout réel x
pour justifier je sais pas comment faire??

Q'(x)= e^x -1

b) Etudier les variations de Q sur R .
Pour cette question pas de problème

C) Déterminer le minimun de Q sur et en déduire l'ensemble de définition D de la fonction f
je mets que sur ]-infini;0[ Q'(x)<0
sur [0;+infini[ Q'(x)>0
de plus q(0)=0 donc Q admet un mininum, Q(x)=0 donc pour x E R Q(x)>Q(0) et pour x e R Q(x)>0.

donc comme Q est dérivable et ne s'annule pas sur et qu'on a dérivée e^x-x alors le dénminateur de f(x) ne s'annule pas et f est défini sur R.



2)a) Vérifier que pour tout réel x non nul , f(x) = 1/ (e^x /x) -1
pas de soucis j'ai trouvé

b) Déterminer la limite de f en + infini et interprêter graphiquement ce résultat

en + infini j'ai trouvé 0 donc la droite d'équation y=0 est une asymptote horizontale à Cf au voisinage de +infini .

c) Déterminer la limite de f en - infini et interprêter graphiquement ce résultat

en - infini j'ai trouvé -1 pareille asymptote horizontale.

3)a) Justifier que f est dérivable sur son ensemble de définition D et déterminer la dérivée f' de f sur R .
je mets que d'après la question c) vue que le dénminateur de f(x) ne s'annule pas et f est défini sur donc f est dérivable sur .
MAIS JE SUIS pas sur pour la justification.

f'(x)= e^x(1-x) / (e^x - x)²

b) étudier les variations de f
Je mets que vu que la fonction f est dérivable sur R et que f'(x)= e^x(1-x)/(e^x-x)²
or la fonction exponentielle est strictement croissante sur R et e^0=1
donc e^x>0
or -x <0
1-x<0
donc e^x(1-x)<0
et (e^x -x)²>0 car la fonction carrée est strictement croissante sur ]0;+INFINI [

donc f est décroissante sur [0;+ infini[ et croissante sur ]-infini;0]
mais je suis pas trop sur de mon raisonnement


4) dresser le tableau de variation de f


5) a) déterminer l'équation réduite de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0.

j'ai trouvé y=x pas trop sure

b) étudier la position relative de C et T ( utiliser la fonction Q )

j'ai fais Q - T = e^x -1 -x -x ....


Merci d' avance !

[SoS-Math(9)]

Bonjour Valentine,

sur ce site on ne corrige pas les exercices des élèves (c'est le role de ton professeur) ....

Cependant ce que tu as fait semble correcte ...
Voici quelques indications, pour tes intérrogations :
* Q est continue et dérivable sur IR, car elle est la somme de fonctions (à toi de les trouver) continues et dérivables sur IR.
* Le signe de f '(x) est celui de 1-x, car les autres facteurs sont toujours positif.
* l'équation de la tangente à la courbe de f en a est donnée par la formule (à savoir !) y = f '(a) (x-a) + f(a).
* pour la question 5) il faut étudier le signe de f(x) - x et non Q(x) - x ...
Commence par réduire au même dénominateur, puis essaye de retrouver Q(x) dans ton quotient.

SoSMath.

[valentine]

mais l'équation de la tangente est elle bonne??
pour les justifications des dérivables sont t-elle justes?
et les variation de f sont faire le tableau sont elle juste aussi?
merci d'avance

[SoS-Math(9)]

Bonjour Valentine,

Toutes tes réponses semblent correctes !

SoSMath.

[valentine]

bonjour,

pouvez-vous me dire si mon raisonnement est juste.
3)b) e^x>0
(e^x - x)²>0 car la fonction carré est croissante et positif.
le signe de f '(x) est celui de 1-x car les autres facteurs sont toujours positifs.
donc 1-x>0
-x>-1
x<1 car -1<0
donc elle est décroissante sur [- infini,1] et croissante sur [1; + infini[

merci

[valentine]

4) x - infini 1 + infini
e^x + +
1-x + -
(e^x -x )² + +
e^x(1-x)/(e^x-x)² + -
f(x) -1 monte descend 0

e^x=0 1-x=0 (e^x-x)²>0
e^x>0 tjrs vrai -x=-1
x=1

f(1)=???
moi je dirais 0 mais je suis pas sur
limf(x)=-1
x--> - infini d'apres le 2)c
lim f(x)=0
x--> + infini d'apres le 2)b
est ce que quelqu'un peut me dire si c'est correcte
merci d'avance!

[valentine]

et pour la 5)b
f(x) - x= x/e^x -x - x
= x-x(e^x-x)/e^x-x
=x-xe^x+x²/e^x-x
= -x (-1+e^x-x)/e^x-x
est ce que c'est bon.
aprés je fais le tableau de signe mais je sais pas comment faire???

est ce que quelqu'un peut m'aider ??? merci d'avance

[SoS-Math(9)]

Bonjour Valentine,

Question 3b) : c'est juste.

Question 4) : ton tableau semble juste.
La fonction f est défine en 0 donc f(0) = 0/(e^0-0) = 0/1 = 0 !!!!

Bon courage,
SoSMath.

[SoS-Math(9)]

Valentine,

Il faut être rigoureuse pour les parenthèses ...
Exemple : 2+3/4-2 = 2+0,75-2 = 0,75 par contre (2+3)/(4-2) = 5/2 = 2,5.

Peux-tu réécrire ton calcul de f(x) - x avec les bonnes parenthèses, car je ne comprends pas tes calculs !

SoSMath.

[valentine]

f(x)-x= x/(e^x-x) -x
=(x-x(e^x -x)/(e^x - x)
= (x -xe^x +x²)/(e^x - x)
=-x(-1+e^x -x)/(e^x -x)

[valentine]

pour la 4 c'est pas f(0)
c'est f(1)=1/e^1 -1=??
mais sa fait quoi e^1=???
MERCI

[SoS-Math(2)]

Bonjour Valentine,
vos calculs sont corrects.
Exp(1)=e
donc f(1)=1/e-1
Bon courage pour la suite

[valentine]

et pour mon f(x) - x???

[SoS-Math(2)]

Je vous ai dit que vos calculs sont justes dans mon précédent message.
Je ne peux mieux vous dire...
A bientôt