fonction exponentielle

[SoS-Math(9)]

bonjour Marc,

tu as trouvé : (1+(1/x)) exp(-1/x) > (ou égal) (-1/2x²) +1
soit - (1+(1/x)) exp(-1/x) < (ou égal) - [(-1/(2x²)) +1]
soit - (1+(1/x)) exp(-1/x) < (ou égal) 1/(2x²) - 1
soit x - (1+(1/x)) exp(-1/x) < (ou égal) 1/(2x²) - 1 + x

SoSMath.

[Marc]

Oui en effet mais je doit trouver x-f(x) < ou égal 1/2x
C'est ça le souci...
Marc

[SoS-Math(9)]

Marc,

Pour cette question tu peux étudier le signe de x-f(x) - 1/2x ....

bon courage,
SoSMath.

[Marc]

Merci je pense avoir compris.
On étudie le signe de x-f(x)-1/(2x)
Sa dérivée est 1-f'(x)+1/(2x²)
pour tout x>0, 1-f'(x)+1/(2x²) >0 donc la fonction x-f(x)-1/2x est croissante et de plus elle est positive.(ça par contre je ne sais pas comment le démontrer)
Donc x-f(x)-1/2x>0
donc x-f(x)>1/2x

Marc

[SoS-Math(9)]

Marc,

tu as presque trouvé ...
Tu as obtenu "la fonction g(x) = x-f(x)-1/2x est croissante " sur ]0 ; +inf[ donc pour tout x positif, g(x) \(g(x)\geq{}\lim_{x \to 0}g(x)\).
Et si \(\lim_{x \to 0}g(x)=0\) alors tu auras trouvé le signe g(x).

SoSMath.

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Marc,

Lorsque je t'ai proposé de regarder l'expression de (1-phi(u)),je voulais que tu mettes en place cette expression à partir de phi(u) = 1 - (1+u) exp(-u) on a donc 1-phi(u)=(1+u)exp(-u)
A présent applique cette expression à u=1/x, cela devrait te donner des idées pour x-f(x).

Bonne recherche.

[Marc]

J'ai essayé les deux méthodes et la méthode de SOS-maths 9 me semble plus simple à réaliser car celle de SOS maths 7 me semble plus compliqué et je n'y arrive vraiment pas...
J'ai donc déterminer la limite en 0 de g(x) mais il y a un petit souci car : lim x (en 0)=0 et lim de -f(x)(en 0+) = 0 et lim de (-1/2x) (en 0+) = - l'infini.
Ce qui ne donne pas 0....
Marc

[SoS-Math(9)]

Bonjour Marc,

en fait tu veux montrer que x-f(x) \(\leq\) 1/(2x) soit x-f(x) -1/(2x)\(\leq\) 0.
soit \(g(x)\leq{}0\)
Et il est assez simple de démontrer cette inégalité .... voici un peu d'aide :
Démontre que pour \(x>0\) on a \(0<e^{-1/x}\leq{}1\).

SoSMath.

[Marc]

Bonjour,
Pour 0< e^(-1/x)<(ou égal)1 pas de problème car lim (en- l'infini) e^(-1/x) = 1 mais ensuite je n'y arrive pas. Enfin voilà ce que je trouve:
0< f(x) < (ou égal) x+1
-x-1 <(ou égal) -f(x) < 0
-1< (ou égal) x- f(x)< x

Est-ce normal?
Merci d'avance parce que là je commence à désespérer...
Marc

[SoS-Math(9)]

Marc,

ce que tu trouves est normal !
Voici une autre aide (qui doit te permettre de réussir ...)
Démontrer que pour tout x de IR on a \(e^x-(1+x)\geq{}0\).
alors tu auras pour x positif \(e^{-1/x}-(1-\frac{1}{x})\geq{}0\) soit \(e^{-1/x}\geq{}(1-\frac{1}{x})\).
tu pourras alors montrer que \(\lim_{x \to +\infty}g(x)\leq{}0\) et donc puisque g est croissante sur ]0;+inf[ alors g(x) < 0 sur ]0;+inf[.

Bon courage,
SoSMath

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Marc,

Ma proposition de recherche peut sembler "plus compliquée" je te donne quelques éléments d'explication afin que tu puisses réellement comparer cette "difficulté"...
1-phi(u)=(1+u)exp(-u)
donc pour u=1/x cela donne 1-phi(1/x)=(1+1/x)exp(-1/x)=((x+1)/x)exp(-1/x)
On a alors en multipliant par x les deux membres de l'égalité : x-x phi(1/x)=(x+1)exp(-1/x)=f(x).
Tu trouveras alors l'expression de x-f(x) = x phi(1/x) et en utilisant le résultat de la question 2c) la conclusion sera un jeu d'enfant...

Bonne réflexion.

[Marc]

Merci infiniment!!!
J'ai compris et en plus cela me semble tout à fait logique même si je n'y avais pas du tout pensé!!
Merci encore et bonne soirée.
Marc ;)

[SoS-Math(7)]

Bonne continuation et à bientôt sur SOS Math.

[Marc]

Merci encore.
Je continue donc mon exercice et donc j'en dédui l'asymptote en + l'infini.
Il me semble que c'est y= x+1/2x que j'ai réussi à démontrer mais je me demande : cela pourrait aussi être y=x non?
Marc

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

L'asymptote est bien y=x, pour cela il suffit de démontrer que \(\lim_{x\to+\infty}x-f(x)=0\)
Utilises les inégalités démontrées avant pour calculer cette limite.

Bonne continuation.