Exercice les nombres comlexes urgent

[Ana]

Bonjour,

Je souhaiterai recevoir de l'aide sur un exercice de mathématiques sur les nombres complexes. Je n'y arrive pas du tout, du tout et je n'ai pas vraiment de pistes...

Voici l'exercice :

Soit A le point d'affixe i, B le point d'affixe -i et f la fonction définie sur l'ensemble des complexes exclue i par f(z)=(1-iz)/(z-i).


1) Vérifier que : pour tout z appartenant a l'ensemble de définition f(z)= -i + (2/z-i)
2) a. Démontrer que -i n'a pas d'antécédent par f
b. Déterminer les antécédents de 0 et de i par f
3) A tous points M distinct de A, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' = f(z)
a. Démontrer que pour tout point M distinc de A, AM fois BM' = 2
b. Démontrer que lorsque M décrit le cercle C de centre A et de rayon 4, M' se déplace sur un cercle C' dont on précisera le centre et le rayon.
4) a. Déterminer l'ensemble C des points M(z) tels que z-i est un réel non nul.
b. Démontrer que lorsque M décrit C, M' se déplace sur une droite (delta) que l'on précisera.

Merci beaucoup de me donner des indications, des pistes s'il vous plait & merci d'avance pour votre aide.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Je ne vais pas te faire l'exercice entièrement, il faut que tu aies fait un minimum de recherche.
Pour la première question, pars de l'expression qu'on te donne, remets au même dénominateur et il y aura des simplifications, tu dois retrouver la fraction qui définit f.
Pour la 2, trouver des antécédents revient à résoudre des équations f(z)=... donc essaie de le faire avec les trois valeurs demandées.
Commence par faire cela, on verra le reste plus tard

[Ana]

Merci beaucoup d'avoir répondu si vite! Votre forum est vraiment très intéressant. Entre temps, grâce à votre aide j'ai réussi à boucler tout l'exercice de mon devoir maison, ce n'était finalement pas si dure :).

Cependant, dans un autre exercice je bloque sur quelques questions. C'est un exercice de révisions un peu sur les limites, chapitre vu en 1ère mais j'ai oublié comment calculer le coéfficient directeur de la tangente au point d'intersection avec l'axe des ordonnées. Si vous pouviez me rappeler la méthode, cela m'aiderai beaucoup !
De plus, on me demande de déterminer f'(x) pour la question précédente, ce que j'ai fait en utilisant la dérivée puis on me demande d'en déduire un tableau de variation mais j'ai un peu de mal car enfait f'(x) = 3(x-5)² - 5/ (x-5)². Je sais donc qu'un carré est toujours positif et je pencherai pour dire que la fonction est croissante mais en vérifiant graphiquement à la calculatrice je ne trouve pas ça...merci d'avance de votre aide.

[sos-math(21)]

Il faut que tu connaisses par cœur cette définition :
Pour une fonction \(f\), dérivable en \(x_0\), l'équation de la tangente au point \(M_0(x_0;f(x_0))\)de la courbe de \(f\) est donnée par
\(y=f'(x_0)\times(x-x_0)+f(x_0)\),
Si c'est au point d'intersection avec l'axe des ordonnées, c'est pour \(x_0=0\) et tu appliques la formule.
Pour ta deuxième question tu as bien \(f'(x)=3(x-5)^2-\frac{5}{(x-5)^2}\) ou est-ce un autre expression ? donne-moi l'expression de f pour qu'on compare.
En tout cas, si c'est un quotient, il faut écrire cela sous la forme d'une seule fraction et comme le dénominateur est positif (tu l'as bien vu, c'est bien), il suffit d'étudier la signe du numérateur...

[Ana]

Merci beaucoup pour la définition, je vais bien l'apprendre!
Et non, ce n'est pas tout à fait cela pour l'expression, le tout est divisé par (x-5)².
Je vous donne f(x) = 3x + 14 + (5/x-5)

[Ana]

Et euh, dans l'expression que vous m'avez donné, je ne comprend pas trop à quoi correxpon x0 ...

[Ana]

C'est bon j'ai compris pour la tangente, ce n'est pas la peine de revenir la dessus, merci :).
Je suis donc toujours bloquée avec mon tableau de variation, et l'autre question qui est la suivante :
Existe-t-il une tangente parallèle a l'asymptot oblique? car auparavant j'ai démontré qu'il y avait une asymptote oblique. Pouvez vous me donner la méthode pour vérifier si il en existe une car je ne comprend pas du tout comment faire... Merci beaucoup. Ana

[sos-math(21)]

Bon si on résume,
\(f(x)=3x+14+\frac{5}{x-5}\), donc si on dérive, on a bien \(f'(x)=\frac{3(x-5)^2-5}{(x-5)^2}\), soit en développant :
\(f'(x)=\frac{3x^2-30x+70}{(x-5)^2}\), tu as donc un numérateur qui est un trinôme du second degré dont tu sais étudier le signe, (tu sais \(\Delta=\))
Pour l'asymptote, qui est visiblement la droite d'équation \(y=3x+14\) (voir la "tête" de la fonction), si on veut une tangente parallèle, il faut avoir le même coefficient directeur, c'est-à-dire, résoudre l'équation \(f'(x)=3\),
A toi de jouer

[Ana]

Merci beaucoup pour votre aide qui ma été très utile, j'ai réussi à finir mon exercice en appliquant ce que vous m'avez donné sans problème :). Bonne journée.

[SoS-Math(9)]

Merci et à bientôt,
SoSMath.

[Elise]

Bonsoir! J'ai le même exercice à faire, et il se trouve que je suis bloquée également (exercice sur les complexes).
J'ai bien réussi à répondre à la première question. Mon problème se pose par contre au niveau de la prochaine question: comment démontrer que -i n'admet pas d'antécédent par f?

[Elise]

Finalement, j'ai trouvé! :)

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
bravo.
Avez-vous montré que l'équation f(z)=-i n'a pas de solution?
A bientôt

[Elise]

Oui, j'ai trouvé que c'était impossible. :)

[SoS-Math(2)]

C'est bien d'y être arrivée seule Elise.
A bientôt sur SoS-Maths
CC