Distance minimal

[Julien]

Bonjour,

Alors j'ai un exercice dot je ne comprend quelque question,

Une unité de longueur étant choisie on considère un carré ABCD de coté 1 et de centre I.
Soit M un point d'un segment [AB] qui peut prendre toute les position de ce segment .
L'objectif de cet exercice est de determiner la position de M pour laquelle la longueur IM est minimale.

1) Conjecturer geométriquement le resultat le resultat , puis le demontrer geometriquement.

2)On considere le repere du plan (D; vecteur DC , vecteur DA ).
a) Determiner les coordonnées de M et celles de I dans ce repere.
b) Demontrer que : IM² =(x-1/2)² +1/4

3)On considère la fonction f définie par:
IM^2=(x-1/2)^2+1/4

a)demontrer que f est decroissante sur l'intervalle [0;1/2] et croissante sur l'intervalle [1/2;1].
(On pourras dans chaque cas considérer deux réels a et b de l'intervalle tel que a<b et comparer f(a) et f(b).)
b)En déduire que f admet un minimum et preciser pour quelle valeur de x il est atteint.
En déduire la position du point M correspondante.

reponse que j'ai donné:

1)POur que ça soit le plus petit possible, IM doit etre perpenciculaire a AB mais je c pas comment le demontrer geometriquement.

2) a) I = DC/2; AD/2 = 1/2;1/2
M = x;1/2
b)IM² = (x-1/2)²+(1-1/2)² = (x-1/2)² + 1/4

3) a)j' arrive pas le demontrer j'ai regarder avec ma calculatrice sa m'as une parrabole qui est decroissante puis a 1/2 croissante .

b) La par contre je suis egarer.

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Pour 1) considère H, milieu de [AB], et M un autre point de [AB]. Alors IHM est un triangle rectangle en H, donc la distance IM est plus grande que IH.
Donc la plus petite distance est IH.

pour 2) a) les coordonnées de M sont (x,1)

3)a) Si x1 et x2 sont dans [0;1/2] tels que x1< x2, alors x1-1/2 et x2-1/2 sont des nombres négatifs et x1-1/2 < x2-1/2

Or la fonctions carrée est décroissante sur l'ensemble des nombres négatifs , donc \((x_1-\frac{1}{2})^2>(x_2-\frac{1}{2})^2\) donc \((x_1-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}>(x_2-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}\) donc f(x1)>f(x2) donc f est décroissante sur [0;1/2]

Je te laisse faire l'autre partie de la question de façon similaire.

3)b) Montre que IM²>= 1/4 grace à la formule de 3)

sosmaths

[Julien]

Merci beaucoup par contre j'ai toujours pas 3) b) meme avec les explication je voit toujour pas comment utilisé la formule.

[SoS-Math(4)]

Dans l'expression de IM², la parenthèse élevée au carrée est positive ou nulle donc ........

sosmaths