Limite de suite

[skeatles]

Bonsoir, j'aimerais avoir de l'aide pour un exercice qui me parait compliqué. Voici l'énoncé:

Soit D une droite, B et C deux points distincts de D, (u,v) un couple de réels non nuls de somme 1.
On désigne par A0 le barycentre de (B,u),(C,v), A1 le barycentre de (A0,u), (B,v), A2 le barycentre de (A1,u), (A0,v) et pour tout n >ou= 2, An le barycentre de (An-1,u),(An-2,v). On notera xn l'abscisse de An sur D, dans le repère (B, vecteurBC).

1/ Calculez x0, x1, x2 en fonction de u.

2/ Montrez que pour tout n >ou= 2, on a: Xn = U(Xn-1 - Xn-2) + Xn-2. Écrire cette inégalité pour Xn-1, Xn-2, ..., X3, X2.

3/ Étudiez la suite (Xn) si u=2.

4/ On suppose que u différent de 2. Montrez que la suite
(Vn) : Vn = Xn - ((1-u)/(2-u)), est géométrique. En déduire le calcul de Xn.

5/ Pour quelles valeurs de u la suite (Xn) est-elle convergente? Quelle est alors la position limite des points (An) ?

Merci d'avance.

[sos-math(13)]

Bonjour,


entre tes minuscules et tes majuscules, on ne sait plus très bien qui est qui... Un peu de rigueur ne ferait pas de mal.

Bon, concrètement, où bloques-tu ? Qu'as-tu fait ? La première question au moins j'imagine. Et qu'as-tu trouvé ?

à bientôt.

[skeatles]

Bonjour, pour la première question j'ai trouvé: x0= 1-u; x1= u-u²; x2= 1-u

J'ai écrit: uMB+vMC = (u+v)MA0
Si M=B: vBC = BA0
(1-u) = BA0
Donc dans le repère (B,BC), x0 = 1-u

A1: uMA0 + vMB = (u+v) MA1
Si M= B, uBA0 = BA1
u(1-u)BC = BA1
(u-u²)BC = BA1
Donc x1 = u-u² ?

De meme, uMA1 + vMA0 = (u+v)MA2
Si M=A0 : uA0A1 = A0A2
uA0A1 + vA0A0 = A0A2
uA0A1 = A0A2
uA0B + Ba1 = A0B +BA2
uA0B - A0B + BA1 = BA2
BA0 = BA2
(1-u)BC = BA2 ?

Est- ce correct ?

Ensuite, je ne comprend pas la question 2..

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
je suis d'accord avec X0 et X1 mais pas avec X2
\(u\vec{A_0A_1}=\vec{A_0A_2}\)
\(u\vec{A0B} +u\vec{Ba1} = \vec{A_0B} +\vec{BA_2}\) dans cette ligne vous avez oublié le deuxième u

Dans cette première question, vous avez pris une méthode de calcul un peu compliquée.
Utilisez plutôt la formule des coordonnées d'un barycentre

A1 le barycentre de (A0,u), (B,v) donc \(x_1=\frac{ux_0+vx_B}{u+v}\)
Or \(x_B=0\) et \(u+v=1\)
A vous de continuer
En utilisant cette même formule vous pouvez calculer Xn et en déduire l'égalité demandée.
Bon courage pour continuer.

[skeatles]

Pour la question 2, à la partie Déduisez-en: Xn+X(n-1) = u(X(n-1)-X0) + X0 + X1
Je ne comprend pas puisque je trouve: u(X(n-1) - X(n-3)) + X(n-3) + X(n-2) ..

Peut être est-ce mes égalité qui ne sont pas correct ?

Je trouve : X(n-1) = U(X(n-2) - X(n-3)) + Xn-3

[sos-math(19)]

Bonjour Skeatle,

Question 2
Je suppose que tu as établi le premier résultat de cette question : \(x_n=u(x_{n-1}-x_{n-2})+x_{n-2}\).

Cette égalité est valable pour \(n\ge2\), tu écris alors les unes sous les autres les égalités correspondant à :
\(n=2\)
\(n=3\)
\(n=4\)
.
.
.
\(n=n-2\)
\(n=n-1\)
\(n=n\)
Lorsqu'on ajoute membre à membre ces égalités, plusieurs termes identiques à gauche et à droite disparaissent, il reste :
\(x_n+x_{n-1}=u[(x_1-x_0)+(x_2-x_1)+(x_3-x_2)+...\)
\(...+(x_{n-3}-x_{n-4})+(x_{n-2}-x_{n-3})+(x_{n-1}-x_{n-2})]+x_1+x_0\).

En développant l'intérieur du crochet, de nouvelles simplifications apparaissent et tu devrais obtenir le résultat souhaité.


Bon courage, les calculs sont un peu longs et il faut être très attentif pour ne pas se tromper.