DM ensemble de points nombres complexes

[Pierre]

Bonjour, j'ai un problème avec mon exercice. Voici le sujet:

Le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormal ( O ; u ; v ), on considère les points A et B d'affixes respectives : zA = 2 -3i ; zB =5.
On désigne par (E) l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant : I z - 2 + 3i I = I z barre - 5 I
On désigne par (F) l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant : I iz -2i - 3 I = 5

Sans remplacer z par x + iy, déterminer géométriquement ces deux ensembles (E) et (F), puis donner pour chacun d'eux une équation cartésienne.


Pour le 1er , j'ai commencé sa me donne : I z - 2 + 3i I = I z barre - 5 I
I z + (-2 + 3i ) I = I z - 5 I ( car I zbarre I = IzI ) Mauvaise justification
normalement on remplace à gauche z par zM et (-2 + 3i ) par une lettre ( là j'ai choisi A) Tu sais que zA = 2 - 3i
sa fait donc : I zM + zA I = Iz-5I signe incorrect
et là je bloque.
Quelqu'un pourrait-il m'aider svp?
Merci d'avance.

[sos-math(19)]

Bonsoir Pierre,

Concentrons-nous sur la première question. Voici les premiers indices :
$|z-z_A|$ = MA
$\overline{z}-5$ = $\overline{z-5}$ et $|\overline{z}|$ = $|z|$, donc ...

Parallèlement, je t'indiques des erreurs dans ton message.

A bientôt.

sos-math

[Pierre]

I z + (-2 + 3i ) I = I z - 5 I $z_A=2-3i$ et non $-2+3i$

quand je corrige, sa fait donc : I z + (2 - 3i) I = I z + 5 I erreurs de signes
I zM + zA I = I zM + zB I erreurs de signes
I AM I = I BM I ? on trouve bien MA = MB (le module s'applique à un nombre complexe et pas à une distance de deux points)

[Pierre]

Ok Merci
Pour le 2ème c'est pareil, je bloque
sa fait : I iz - 2i - 3 I = 5
I i(z-2-3/i) I = zB
Normalement on doit avoir 2 - 3i pour ainsi le remplacer par A ? si c'est le cas, je vois pas comment faire.

[sos-math(19)]

Bonsoir Pierre,

I i(z-2-3/i) I = zB

Tu sais que $|Z\times{Z'}|$ = $|Z|\times|Z'|$, donc tu peux déjà améliorer le premier membre de ton égalité.
Tu sais aussi que $\frac{1}{i}$ = $-i$, donc tu peux améliorer l'écriture de : $z-2-\frac{3}{i}$.
Tu sais enfin que $z_A$ = $2-3i$, donc tu peux chercher à faire apparaître $z_A$ dans l'expression que tu viens d'améliorer.
Et pour finir, remplacer le second membre par $z_B$ n'apporte rien d'intéressant.

J'espère que ces quelques remarques t'éclaireront sur la conduite des calculs.

Bonne continuation.

[Pierre]

Bonjour,
Donc j'ai essayer de faire comme vous m'aviez dit, je pensse avoir compris; voilà ce que j'ai fait :
I i(z-2-3/i) I = 5
I i I x I z - 2 + 3i I = 5
I i I x I z-(2 - 3i) I = 5
I z-(2 - 3i) I = 5/i
I z-(2 - 3i) I = -5i
I zM - zA I = -5i ?
c'est correct ou j'ai fait une erreur ?

[sos-math(19)]

Bonsoir Pierre,

Il y a une erreur dans le passage de la troisième à la quatrième ligne.

En effet $|i|$ = 1.
Reprends les calculs à ce niveau.

Bon courage

[Invité]

I i I x I z-(2 - 3i) I = 5
I z-(2 - 3i) I = 5
I zM - zA I = 5
I AM I = 5

Donc (F) est le cercle de centre A de rayon 5cm

[sos-math(19)]

Bonsoir Pierre,

Oui pour tes calculs et ta réponse, sauf pour |AM| qui est simplement AM.

Le module s'applique à un nombre complexe et non à une distance.

A bientôt.

[Pierre]

OK et juste pour la dernière question : donner une equation cartésienne pour chacun d'eux
Dans mon cours c'est écrit que (a , b ) sont les coordonnées cartésiennes de z = a + ib, mais je vois pa comment mettre sous forme cartésienne

[sos-math(19)]

Bonsoir Pierre,

(E) est une droite que tu ne m'as d'ailleurs pas précisée et (F) est un cercle.

Tu connais les coordonnées des points A et B par leurs affixes.

Tu as appris en 1° à former l'équation cartésienne d'une droite ou d'un cercle. Peut-être quelques révisions sont nécessaires ?

A bientôt.

[Pierre]

Ok, bàs je vous remercie pour le temps que vous m'avez accordé, sa m'a bien aidé
Encore merci et A Bientôt.

[sos-math(19)]

Bonjour Pierre,

(E) est caractérisé par $|z-z_A|$ = $|z-z_B|$.
(F) est caractérisé par $|z-z_A|$ = 5.

Tu obtiens l'équation cartésienne de (E), puis de (F) en exprimant les modules à l'aide des parties réelles et imaginaires des quantités sous les modules.

A bientôt.

[Pierre]

Je ne comprend pas très bien votre raisonement, pouvez m'expliquer svp

[sos-math(19)]

Bonsoir Pierre,

Tu as appris que $|x+iy|$ = $\sqrt{x^2+y^2}$, donc si tu veux le module de $z-z_A$, tu commences par écrire $z-z_A$ sous la forme algébrique, puis tu passes par la formule que je viens d'indiquer.

Autre remarque : pour deux nombres positifs, l'égalité de ces nombres équivaut à celle de leurs carrés. Cette remarque te permettra de t'affranchir des racines carrées.

Bonne continuation.