résoudre une inéquation avec quotient et racine carré

[hbx]

Bonjour,

J'ai cette inéquation à résoudre mais je suis bloqué car je n'arrive pas à interpréter le résultat. Merci d'avance.

$\frac{-1}{2} \geq \frac{x}{2*\sqrt{x^2+1}} \Leftrightarrow$

$-2\sqrt{x^2+1} \geq 2x \Leftrightarrow$

$-\sqrt{x^2+1} \geq x \Leftrightarrow$

$(-\sqrt{x^2+1})^2 \geq x^2 \Leftrightarrow$

$x^2+1 \geq x^2 \Leftrightarrow$

$1 \geq x^2-x^2 \Leftrightarrow$

$1 \geq 0$

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
attention il y a une erreur dans ta résolution

$\dfrac{-1}{2} \geq \dfrac{x}{2\sqrt{x^2+1}} \Leftrightarrow$

$-2\sqrt{x^2+1} \geq 2x \Leftrightarrow$

$-\sqrt{x^2+1} \geq x \Leftrightarrow$

Il y a deux cas :
1) $x \geq 0$
$-\sqrt{x^2+1} \leq 0$ donc l'inéquation n'a pas de solution

2) $x \leq0$
les deux membres de l’inéquation sont négatifs donc quand tu prends les carrés il faut changer le sens de l'inégalité.

$(-\sqrt{x^2+1})^2 \leq x^2 \Leftrightarrow$

$x^2+1 \leq x^2 \Leftrightarrow$

$1 \leq x^2-x^2 \Leftrightarrow$

$1 \leq 0$ l'inégalité est fausse donc l'inéquation n'a pas de solution

Est-ce plus clair?
Bonne continuation
SoS-math

[hbx]

Donc si j'élève au carré :

$-\sqrt{x^2+1} \geq x$

Je dois changé le signe peu importe si x est >= à 0 à cause du signe - de la racine ?

[SoS-Math(33)]

La fonction carré est décroissante sur ]$-\infty$ ; 0] et croissante sur [0 ; $+\infty$[,
donc si tu es sur ]$-\infty ; 0]$ quand tu prends le carré des deux membres tu dois changer le sens de l'inégalité
Exemple -$2 \geq -3$ et $(-2)^2\leq(-3)^2$ ( $4\leq 9$)

Quand dans la résolution tu élèves au carré, tu es dans le cas $x \leq 0$
Dans le cas $x \geq 0$ il n'y a pas de solution car avec l'équation tu obtiens un nombre négatif plus grand qu'un nombre positif ce qui n'est pas possible.
SoS-math

[hbx]

D'accord merci pour votre réponse.

[SoS-Math(33)]

Bonne continuation
A bientôt sur le forum
SoS-math