Résolution d'équation

[sos-math(21)]

Bonjour Lola,
oui c'est cela. Tu peux poursuivre le raisonnement en regardant les conséquences du signe de $\Delta_a$ sur la résolution de ton équation $E_a$.
Bon courage

[Lola]

Si a est positif, alors les solutions se trouvent sur l'intervalle $]-1;1[$
Si a est négatif, alors les solutions se trouvent sur les intervalles $]-\infty ;-1[\cup]1;+\infty[$

[sos-math(21)]

Bonsoir,
je ne comprends pas trop ton dernier message. Il faut que tu exploites ce que l'on vient de faire pour répondre à la question :

En déduire le nombre et la nature des solutions de l'équation $E_a$ en fonction des valeurs de a

Le tableau de signe que tu as établi donne le signe du discriminant $\Delta_a$ et celui-ci a un impact sur le nombre de solutions de $z^2-4z+4a^2$.

• si $a\in]-\infty\,;\,-1[\cup]1\,;\,+\infty[$,on a $\Delta_a<0$ donc l'équation $z^2-4z+4a^2$ a ... solution(s) et $E_a$ a .... solutions qui sont....
• si $a=1$, ou $a=-1$, alors $\Delta_a=0$ donc l'équation $z^2-4z+4a^2$ a ... solution(s) et $E_a$ a .... solutions.
• si $a\in]-1\,;\,1[$, alors $\Delta_a>0$ donc l'équation $z^2-4z+4a^2$ a ... solution(s) et $E_a$ a .... solutions.

Je te laisse compléter.

[Lola]

Si $a\in ]-\infty ;-1[\cup ]1;+\infty[$, on a $\Delta _{a}< 0$ donc l'équation $z^2-4z+4a^2$ a 2 solutions et $E_{a}$ a 2 solutions aussi qui sont complexes.
Si $a=1$ ou $a=-1$, alors $\Delta _{a}= 0$ donc l'équation $z^2-4z+4a^2$ a 1 solution et $E_{a}$ a 3 solutions réelles.
Si $a\in ]-1;1[$, alors $\Delta _{a}> 0$ donc l'équation $z^2-4z+4a^2$ a 2 solutions et $E_{a}$ a 3 solutions réelles.

Je ne suis pas sûre du tout

[sos-math(21)]

Bonjour,
il faut que tu répondes de manière précise sur la nature des solutions.
Sachant que l'équation $z^2-a^2=0$ a toujours deux solutions réelles (qui sont $a$ et $-a$).
Si $a\in ]-\infty ;-1[\cup ]1;+\infty[$, on a $\Delta _{a}< 0$ donc l'équation $z^2-4z+4a^2$ a 2 solutions complexes conjuguées (et non réelles) et $E_{a}$ a donc en réunissant les solutions des deux équations : 2 solutions complexes conjuguées et deux solutions réelles.
Si $a=-1$ ou $a=1$, alors on a $\Delta_a=0$, on a ce que tu as dit : 3 solutions réelles (qui sont -1,1 et 2).
Si $a\in]-1\,;\,1[$, alors $\Delta_a>0$, alors l'équation $z^2-4z+4a^2$ a 2 solutions réelles distinctes donc l'équation $E_a$ a 4 solutions réelles distinctes, sauf si $a=0$, car dans ce cas, il y a seulement 2 solutions distinctes : 0 et 4 (question 1).
Je te laisse consulter ce fichier GeoGebra afin de vérifier cette conclusion.
Il te restera à établir l'expression des racines manquantes en fonction de $a$.

Téléchargez la figure ici.

Bonne conclusion

[Lola]

J'ai mieux compris grâce à vos explications merci beaucoup. :)
Quand vous dites racines manquantes vous parlez de la question 5.d ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
oui, je parle de la dernière question qui demande l'expression des racines complexes lorsque $|a|>1$ (cas n°1).
Ce sont deux racines complexes conjuguées qui peuvent s'exprimer en fonction de $a$.
Il te reste cela, il me semble.
Bonne continuation

[Lola]

Ah oui je me disais peut-être qu'il restait autre chose à faire dans la 5.c j'ai eu peur :')
5.d:
On doit résoudre $z^2-4z+4a^2=0$
$z_{1}=\frac{-b-i\sqrt{\Delta}}{2a}$
$= \frac{4-i\sqrt{16(1-a^2)}}{2}$

Et $z_{2}= \bar{z_{1}}= \frac{4+i\sqrt{16(1-a^2)}}{2}$

[sos-math(21)]

Bonjour,
Oui c’est cela et tu peux encore améliorer l’écriture de ces racines en extrayant le 16 de la racine carrée, ce qui te permettra d’appliquer la division par 2 aux deux termes de ton numérateur et fera ainsi disparaître le quotient.
Bonne simplification

[Lola]

Bonjour,

$z_{1}= \frac{4-i*4(1-a))}{2}= 2-2i(1-a)$
$z_{2}= \frac{4+i*4(1-a)}{2}= 2+2i(1-a)$

[sos-math(21)]

Bonjour,
Attention tu peux extraire le 16 de la racine carrée mais elle reste appliquée à $1-a^2$.
Donc il doit rester une racine carrée dans tes expressions.
Bon calcul

[Lola]

Ah oui le ^2 je l'ai mis en dehors des parenthèses..
Du coup $z_{1}= 2-2\sqrt{1-a^2}*i$
Et $z_{2}= 2+2\sqrt{1-a^2}*i$

[sos-math(21)]

Bonjour,
oui c'est cela.
On a l'habitude d'écrire $z_1=2-2i\sqrt{1-a^2}$ et $z_2=2+2i\sqrt{1-a^2}$ : on met le $i$ devant la racine carrée afin d'éviter la confusion du $i$ sous la racine carrée ou à l'extérieur. Cette remarque est valable pour tout facteur avec une racine carrée : $2\sqrt{8}$ plutôt que $\sqrt{2}\times 8$.
On est rendu au bout de l'exercice, non ?
Vérifie bien chacune des réponses pour savoir si tu as bien répondu à la demande.
Bonne continuation

[Lola]

Super merci énormément !
Pour la dernière il fallait juste donner les complexes comme solutions alors ? On ne doit pas trouver les 2 solutions réelles en résolvant $(z-a^2)=0$ ?

Sinon j'ai relu l'exercice je pense que c'est tout bon :)

[sos-math(21)]

Bonjour,
on te demande de donner les solutions donc il faut effectivement donner toutes les solutions : je m'étais concentré sur les solutions complexes car les solution réelles avaient déjà été trouvées ( $a$ et $-a$.
Pour ton travail de synthèse, il faut donc que tu cites à chaque fois le nombre de tes solutions et dans le cas où $|a|>1$, que tu détailles leur expression : c'est ce que je comprends de ton énoncé.
Bonne conclusion