Résolution d'équation

[Sacha]

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire un exercice de maths expertes, je bloque totalement ... J'ai besoin de votre aide svp.
L'énoncé de l'exercice:

On considère un réel $a$ et on note $E_{a}$ l'équation : $z^4-4z^3+3a^2z^2+4a^2z-4a^4=0$
On notera $S_{a}$ l'ensemble des solutions de l'équation $E_{a}$

1) Combien l'équation $E_{a}$ peut-elle avoir de solutions ?
2) On fixe $a=0$. Résoudre l'équation $E_{0}$
3) On fixe $a=1$. Développer $(z^2-1)(z^2-4z+4)$ et en déduire la résolution de $E_{1}$
4) Sans aucun calcul, déterminer l'ensemble $S_{-1}$ des solutions de $E_{-1}$
5) On note $P_{a}(z)$ le polynôme : $P_{a}(z)=z^4-4z^3+3a^2z^2+4a^2z-4a^4$
a. Montrer que pour tout complexe $z$ et tout réel $a$ on a : $P_{a}(z)= (z^2-a^2)(z^2-4z+4a^2)$
b. Calculer le discriminant $\Delta _{a}$ du trinôme $z^2-4z+4a^2$ et étudier son signe en fonction des valeurs de $a$
c. En déduire le nombre et la nature des solutions de l'équation $E_{a}$ en fonction des valeurs de $a$
d. Exprimer en fonction de $a$ les valeurs des solutions de $E_{a}$ dans le cas où $|a|> 1$

La 1) : C'est un polynôme du 4ème degré à 4 inconnues, donc il y a 4 solutions possibles.
Je suis bloquée à la 2).. J'ai juste trouvé que $E_{0} = z^4-4z^3+3*0^2*z^2+4*0^2*z-4*0^4=z^4-4z^3=0$

Merci d'avance !

[sos-math(21)]

Bonjour,
comme le polynôme du membre de gauche est de degré 4, ton équation aura au maximum 4 solutions distinctes car le degré d'une équation polynomiale est égal au nombre de ses racines (éventuellement complexes), comptées avec leur multiplicité.
Pour $a=0$, tu as $z^4-4z^3=0$ qui donne par factorisation$z^3(z-4)=0$ la résolution de cette équation produit nul donne $z=0$ et $z=4$.
Pour la question 3), c'est le même principe, on te propose de vérifier une factorisation et de traiter une équation produit nul : il te faudra reconnaitre des identités remarquables ou utiliser le discriminant.
Voilà pour le début.

[Lola]

Merci pour votre réponse.
Pour la 3:
$(z^2-1)(z^2-4z+4)= z^4-4z^3+4z^2-z^2+4z-4= z^4-4z^3+3z^2+4z-4$
=$E_{1}$

$z^2-1=0$
<=> $z^2=1$
Donc $z=1$ ou $z=-1$

$z^2-4z+4=0$
<=> $\Delta = (-4)^2-4*1*4= 16-16 = 0$
Donc $z= \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2} = 2$

Les solutions sont : 1; -1; 2. Il n'en manque pas une ? Je crois que je me suis trompée quelque part..

[SoS-Math(33)]

Bonsoir Lola,
ce que tu as fait est correct, la solution z=2 est une solution dite double (car $\Delta$ = 0) c'est pour ça que tu as l'impression qu'il en manque une.
SoS-math

[Lola]

Ah d'accord merci !
Pour la question 4, c'est les mêmes solutions je pense, car si $a=-1$, alors $a^2=1$ et $a^4=1$. Donc cela revient à résoudre $E_{1}$
Je ne sais pas si j'ai bien justifié.

[SoS-Math(33)]

Oui c'est bien ça.
$P_{-1}(z)=P_1(z)$

[Lola]

Pour la 5.a :
$(z^2-a^2)(z^2-4z+4a^2)= z^4-4z^3+4a^2z^2-a^2z^2+4a^2z-4a^4 = z^4-4z^3+3a^2z^2+4a^2z-4a^4= P_{a}(z)$

Pour la b dois-je calculer le discriminant comme d'habitude en sachant qu'il y a un $a^2$ à la fin de l'équation ?

[SoS-Math(33)]

Oui tu calcules le discriminant normalement.

[Lola]

$z^2-4z+4a^2=0$
$\Delta _{a}= (-4)^2-4*1*4= 16-16= 0$
<=> $a= \frac{-b}{2a}= 2$
Après je suis bloquée ...

[SoS-Math(33)]

Non ce n'est pas ça, il te faut prendre en compte la présence du $a^2$
$z^2-4z+4a^2=0$
$\Delta _{a}= (-4)^2-4 \times 1\times 4a^2= 16-16a^2 = 16(1-a^2)$
Il faut maintenant étudier le signe de $\Delta_a$ en fonction de a

[Lola]

Ah oui merci!
Pour le signe c'est toujours positif à cause du $a^2$ tant que $a> 1$ ? Et $16> 0$ ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
il faut que tu étudies le signe de l'expression du second degré $\Delta_a=16(1-a^2)$ en fonction de $a$.
Son signe n'est pas constant et dépend des valeurs de $a$ : $a$ est appelé un paramètre de ton équation.
Il faut donc faire une étude de cas :

• Pour quelles valeurs de $a$, a-t-on $\Delta_a>0$? Conséquences sur l'équation de départ ?
• Pour quelles valeurs de $a$, a-t-on $\Delta_a=0$ ? Conséquences sur l'équation de départ ?
• Pour quelles valeurs de $a$, a-t-on $\Delta_a<0$ ? Conséquences sur l'équation de départ ?

Nous te laissons réfléchir à cela.
À bientôt

[Invité]

Ah oui merci!
Pour le signe c'est toujours positif à cause du $a^2$ tant que $a> 1$ ? Et $16> 0$ ?

Pour déterminer le signe de delta =16(1-a^2), COMMENCEpar déterminer les valeurs de a telles que delta=0.
Tu trouves a=-1 et a=1.
Ensuite, dresse un tableau avec ces valeurs
Enfin, déduire le signe de delta.

[sos-math(21)]

Bonjour,
comme le propose Invité, tu peux faire un tableau de signe après avoir factorisé $\Delta_a=16(1-a)(1+a)$ :

Bonne étude.

[Lola]

Ah oui je ne pense jamais à factoriser les expressions pour que ça devienne un produit nul, plus facile à résoudre dans une équation.
Merci à tous pour vos réponses !

Signe de 16 : + + +
Signe de 1-a : + + -
Signe de 1+a : - + +
Signe de 16(1-a)(1+a) : - + -