Nombres de Fermat
Nombres de Fermat
Bonjour, dans un exercice de Spé Maths au sujet des nombres de Fermat, on me demande de démontrer que F indice (n+k) est congru à 2 modulo [F indice (n)]. J'arrive à démontrer ceci, et j'arrive à en déduire que deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux.
Maintenant, on me demande de trouver, à partir de là, une nouvelle preuve de l'infinitude des nombres premiers. Aïe...
J'ai bien sûr pensé que comme les nombres de Fermat sont premiers deux à deux, alors il existe une infinité de nombres premiers, mais je ne pense pas que cela suffise ?
D'ailleurs, il est écrit dans mon livre qu'on ne sait s'il y a une infinité de nombres de Fermat premiers, voilà pourquoi je doute de ma réponse. Pourriez-vous m'aider pour cette question ?
Merci d'avance pour votre réponse.
Maintenant, on me demande de trouver, à partir de là, une nouvelle preuve de l'infinitude des nombres premiers. Aïe...
J'ai bien sûr pensé que comme les nombres de Fermat sont premiers deux à deux, alors il existe une infinité de nombres premiers, mais je ne pense pas que cela suffise ?
D'ailleurs, il est écrit dans mon livre qu'on ne sait s'il y a une infinité de nombres de Fermat premiers, voilà pourquoi je doute de ma réponse. Pourriez-vous m'aider pour cette question ?
Merci d'avance pour votre réponse.
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Re: Nombres de Fermat
Bonsoir Martin,
Comme vous l'avez démontré, les nombres de Fermat sont premiers entre eux deux à deux.
Or chaque nombre de Fermat \(F_n\) admet au moins un diviseur premier \(p_n\) qui ne divise pas les autres nombres de Fermat puisqu'ils sont premiers entre eux deux à deux.
Il y a donc au moins autant de nombres premiers que de nombres de Fermat, et puisqu'il y a une infinité de nombres de Fermat, il y a aussi une infinité de nombres premiers.
J'espère que cette explication vous conviendra.
SOS-math
Comme vous l'avez démontré, les nombres de Fermat sont premiers entre eux deux à deux.
Or chaque nombre de Fermat \(F_n\) admet au moins un diviseur premier \(p_n\) qui ne divise pas les autres nombres de Fermat puisqu'ils sont premiers entre eux deux à deux.
Il y a donc au moins autant de nombres premiers que de nombres de Fermat, et puisqu'il y a une infinité de nombres de Fermat, il y a aussi une infinité de nombres premiers.
J'espère que cette explication vous conviendra.
SOS-math
Re: Nombres de Fermat
Merci beaucoup pour votre réponse qui me convient parfaitement !
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Re: Nombres de Fermat
Tant mieux,
en revanche, on ne connait pas forcément de facteurs premiers, par exemple \(F_{14}\), possède un facteur premier mais on n'en a pas encore trouvé...
On ne sait pas a priori au delà d'une certaine limite quels sont les nombres de Fermat premiers et quels sont les nombres de Fermat composés.
Il reste donc encore des questions en suspens : existe-t-il une infinité de nombres de Fermat premiers ?
Cela fait partie des nombreux problèmes non réglés en arithmétique.
Bonne continuation.
en revanche, on ne connait pas forcément de facteurs premiers, par exemple \(F_{14}\), possède un facteur premier mais on n'en a pas encore trouvé...
On ne sait pas a priori au delà d'une certaine limite quels sont les nombres de Fermat premiers et quels sont les nombres de Fermat composés.
Il reste donc encore des questions en suspens : existe-t-il une infinité de nombres de Fermat premiers ?
Cela fait partie des nombreux problèmes non réglés en arithmétique.
Bonne continuation.
Re: Nombres de Fermat
Bonjour , comment monter que deux nombre de Fermat sont premier entre euxMartin a écrit : ↑ven. 10 janv. 2014 07:32Merci beaucoup pour votre réponse qui me convient parfaitement !
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Nombres de Fermat
Bonjour,
Pour démontrer que deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux, il faut établir une relation de congruence préalable entre eux.
Tu peux consulter une démonstration ici : http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Fi ... ulier).pdf
Dans ce fil de discussion une démonstration est aussi évoquée : montrer que \(F_{n+k}\equiv \,2 [F_n]\).
Bonne continuation
Pour démontrer que deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux, il faut établir une relation de congruence préalable entre eux.
Tu peux consulter une démonstration ici : http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Fi ... ulier).pdf
Dans ce fil de discussion une démonstration est aussi évoquée : montrer que \(F_{n+k}\equiv \,2 [F_n]\).
Bonne continuation