Suite et matrice
Suite et matrice
jour monsieur je vous envoie cet exercice que j’´ai à faire en dm et que j’ai beaucoup de difficulté . Est-ce que vous pouvez m'aider à le faire s'il vous plaît ? Parce que je l'ai pas du tout compris .
> PARTIE À
> Soit (Un) une suite définie par la relation de recurence : pour tout n appartient à N , Un+1=aUn+b avec a différent de 1 et b différent de 0 .
> 1) - résoudre dans R l'equation (point fixe) x=aux+b. On note q la solution
> 2) -on pose Vn=Un-q . Montrer que la suite (Vn) est géométrique de raison a
> 3) -en déduire l'expression (Un) en fonction de Uo , a et b
> 4) - discuter en fonction de a, la limite de la suite (Un)
> PARTIE B
> Soit A une matrice carre d'ordre 2 et V un vecteur colonne de taille 2
> 1) - Donner un cas particulier d'un Matrice A t'elle qu'il n'existe pas de vecteur W telle que W=AW+V(*)
> 2) - on suppose que la matrice I-A est inversible, résoudre en exprimant (*) W en fonction de V et I-A
> 3) - on pose Yn=Xn-W verifier que Yn+1=AYn
> 4) - a) montrer que pour tout n appartient à N , Yn=A^n et W
> b) en déduire pour tout n£N l'expression de Xn en fonction de Xo,A^n et W
> 5) - on suppose que A est diagonalisable c'est à dire qu'il une matrice S inversible telle
> PARTIE À
> Soit (Un) une suite définie par la relation de recurence : pour tout n appartient à N , Un+1=aUn+b avec a différent de 1 et b différent de 0 .
> 1) - résoudre dans R l'equation (point fixe) x=aux+b. On note q la solution
> 2) -on pose Vn=Un-q . Montrer que la suite (Vn) est géométrique de raison a
> 3) -en déduire l'expression (Un) en fonction de Uo , a et b
> 4) - discuter en fonction de a, la limite de la suite (Un)
> PARTIE B
> Soit A une matrice carre d'ordre 2 et V un vecteur colonne de taille 2
> 1) - Donner un cas particulier d'un Matrice A t'elle qu'il n'existe pas de vecteur W telle que W=AW+V(*)
> 2) - on suppose que la matrice I-A est inversible, résoudre en exprimant (*) W en fonction de V et I-A
> 3) - on pose Yn=Xn-W verifier que Yn+1=AYn
> 4) - a) montrer que pour tout n appartient à N , Yn=A^n et W
> b) en déduire pour tout n£N l'expression de Xn en fonction de Xo,A^n et W
> 5) - on suppose que A est diagonalisable c'est à dire qu'il une matrice S inversible telle
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Re: Suite et matrice
Bonjour Chevenson,
Il faut surtout commencer par bien lire l'énoncé.
1) Tu dois chercher l'expression de x en fonction de a et b sachant que x = ax + b. C'est simplement résoudre l'équation.
Comme a différent de 1, tu trouveras x=\(\frac{b}{1-a}\)
2) Calculer v\(_{n+1}\) et trouver un nombre fois le terme précédent.
Il faut surtout commencer par bien lire l'énoncé.
1) Tu dois chercher l'expression de x en fonction de a et b sachant que x = ax + b. C'est simplement résoudre l'équation.
Comme a différent de 1, tu trouveras x=\(\frac{b}{1-a}\)
2) Calculer v\(_{n+1}\) et trouver un nombre fois le terme précédent.
Re: Suite et matrice
Merci beaucoup
J’ai réussi la 1) et 2) de la partie A
Mais j’arrive pas à faire la 3) et la 4)
J’ai réussi la 1) et 2) de la partie A
Mais j’arrive pas à faire la 3) et la 4)
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Re: Suite et matrice
Bonjour,
tu as démontré que ta suite \(v_n\) était géométrique de raison \(a\) donc son expression explicite est \(v_n=v_0\times a^n\).
\(v_0=u_0-q\) donc \(v_n=....\).
Ensuite sachant que \(v_n=u_n-q\) on a \(u_n=v_n+q=\ldots\) : ce qui correspondra à l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
Ensuite il faut regarder la convergence de la suite en fonction de la valeur de \(a\) : il faudra distinguer le cas \(0<|a|<1\) et le cas \(|a|>1\).
Pour t'aider, tu peux consulter la page wikipedia consacrée aux suites arithmético-géométriques : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_ari ... 3%A9trique.
Bonne conclusion
tu as démontré que ta suite \(v_n\) était géométrique de raison \(a\) donc son expression explicite est \(v_n=v_0\times a^n\).
\(v_0=u_0-q\) donc \(v_n=....\).
Ensuite sachant que \(v_n=u_n-q\) on a \(u_n=v_n+q=\ldots\) : ce qui correspondra à l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
Ensuite il faut regarder la convergence de la suite en fonction de la valeur de \(a\) : il faudra distinguer le cas \(0<|a|<1\) et le cas \(|a|>1\).
Pour t'aider, tu peux consulter la page wikipedia consacrée aux suites arithmético-géométriques : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_ari ... 3%A9trique.
Bonne conclusion
Re: Suite et matrice
Merci beaucoup
Est-ce que je peux vous envoyer en photo l’énoncé de la partie B ??
Est-ce que je peux vous envoyer en photo l’énoncé de la partie B ??
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Re: Suite et matrice
Bonjour,
pour la partie B, ton équation est équivalente à \((I-A)W=V\).
Une telle équation matricielle n'aura pas de solution en \(W\) si la matrice \(I-A\) n'est pas inversible.
En prenant par exemple \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\), tu as \(I-A=\begin{pmatrix}-1&-1\\-1&-1\end{pmatrix}\) qui n'est pas inversible.
Voilà pour le début. Y-a-t-il un endroit où tu bloques ?
pour la partie B, ton équation est équivalente à \((I-A)W=V\).
Une telle équation matricielle n'aura pas de solution en \(W\) si la matrice \(I-A\) n'est pas inversible.
En prenant par exemple \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\), tu as \(I-A=\begin{pmatrix}-1&-1\\-1&-1\end{pmatrix}\) qui n'est pas inversible.
Voilà pour le début. Y-a-t-il un endroit où tu bloques ?
Re: Suite et matrice
Bonjour
Est-ce que c’est la partie B1 ?
Pour donner le cas particulier de matrice À telle que
W=AW+V(*) , telle que W n’existe pas.
Si A est une matrice unité donc
W=W+V(*) car AW=W
W-W=V(*)
0=V(*)
donc W n’existe pas
Est-ce que c’est comme je peux faire la 1) de la partie b ??
S’il vous plaît
Est-ce que c’est la partie B1 ?
Pour donner le cas particulier de matrice À telle que
W=AW+V(*) , telle que W n’existe pas.
Si A est une matrice unité donc
W=W+V(*) car AW=W
W-W=V(*)
0=V(*)
donc W n’existe pas
Est-ce que c’est comme je peux faire la 1) de la partie b ??
S’il vous plaît
Re: Suite et matrice
Ah non
W=AW+V
W-AW=V
W(I-A)=V
Pour que W n’existe pas si I-A est nul
W=AW+V
W-AW=V
W(I-A)=V
Pour que W n’existe pas si I-A est nul
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Re: Suite et matrice
Bonjour,
attention ce n'est pas une histoire d'être nulle pour une matrice, mais simplement d'être non inversible.
Bien sûr une matrice nulle fonctionnera car elle est non inversible mais j'ai peur que par cette réponse ne soit le témoin d'une mauvaise compréhension de ta part.
Pour que ton vecteur \(W\) n'existe pas, il suffit que ta matrice soit non inversible (voir mon message précédent).
Bonne continuation
attention ce n'est pas une histoire d'être nulle pour une matrice, mais simplement d'être non inversible.
Bien sûr une matrice nulle fonctionnera car elle est non inversible mais j'ai peur que par cette réponse ne soit le témoin d'une mauvaise compréhension de ta part.
Pour que ton vecteur \(W\) n'existe pas, il suffit que ta matrice soit non inversible (voir mon message précédent).
Bonne continuation
Re: Suite et matrice
Ahh d’accord
Du coup je peux répondre
Si I-A est non inversible alors W n’existe pas tel que
W=AW+V
Une fois je fais ça est ce que je peux donner un exemple ou bien je laisse comme ça si c’est bon
Du coup je peux répondre
Si I-A est non inversible alors W n’existe pas tel que
W=AW+V
Une fois je fais ça est ce que je peux donner un exemple ou bien je laisse comme ça si c’est bon
Re: Suite et matrice
Pour la B2)
Je pose
W=AW+V
W(I-A)=V
J’exprime W en fonction de (I-A) et v
Je pose
W=AW+V
W(I-A)=V
J’exprime W en fonction de (I-A) et v
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Re: Suite et matrice
Bonjour,
Si tu regardais les messages que je t’ai envoyés tu verrais que j’ai déjà répondu à ces questions.
Remonte le sujet jusqu’à mon message du mercredi 24 février à 15h16.
Bonne continuation
Si tu regardais les messages que je t’ai envoyés tu verrais que j’ai déjà répondu à ces questions.
Remonte le sujet jusqu’à mon message du mercredi 24 février à 15h16.
Bonne continuation
Re: Suite et matrice
Bonjour merci beaucoup
Je fais la 3) et la 4) a) et b)
Mais j’ai pas compris la 5)
Je fais la 3) et la 4) a) et b)
Mais j’ai pas compris la 5)