Trouver l'entier naturel a
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Bonjour
Les diviseurs premiers du nombre a sont 2 et 3 , le nombre de diviseurs du a² égale à 3 fois le nombre de diviseurs de a. Trouver a .
Jai essayé d'appliquer la règle pgcd × ppcm = a × a² mais apparemment ça n'aide pas et je ne vois pas comment y faire
Merci pour votre aide
Les diviseurs premiers du nombre a sont 2 et 3 , le nombre de diviseurs du a² égale à 3 fois le nombre de diviseurs de a. Trouver a .
Jai essayé d'appliquer la règle pgcd × ppcm = a × a² mais apparemment ça n'aide pas et je ne vois pas comment y faire
Merci pour votre aide
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Re: Trouver l'entier naturel a
Bonjour,
si \(2\) et \(3\) sont les diviseurs premiers de \(a\), alors \(a=2^p\times 3^q\) ce qui signifie que \(a\) possède \((p+1)(q+1)\) diviseurs.
Lorsqu'on prend le carré, on a \(a^2=2^{2p}\times 3^{2q}\) et le nombre de diviseurs est alors \((2p+1)(2q+1)\).
Cela te donnera une condition sur \(p\) et \(q\)... Je te laisse chercher un peu.
Bonne continuation
si \(2\) et \(3\) sont les diviseurs premiers de \(a\), alors \(a=2^p\times 3^q\) ce qui signifie que \(a\) possède \((p+1)(q+1)\) diviseurs.
Lorsqu'on prend le carré, on a \(a^2=2^{2p}\times 3^{2q}\) et le nombre de diviseurs est alors \((2p+1)(2q+1)\).
Cela te donnera une condition sur \(p\) et \(q\)... Je te laisse chercher un peu.
Bonne continuation
Re: Trouver l'entier naturel a
Merciii
OK donc on a à résoudre l'équation (2p+1)(2q+1)=3(p+1)(q+1) ce qui donne p+q=pq
et d'après gauss puisque p/p+q donc p/q et de l'autre coté puisque q/p+q donc q/p ce qui signifie que p=q
et en remplaçant p par q (par éxample) dans l'équation : p+q=pq on aura 2q=q² ce qui donne q=p=2 d'où a=36 .
C'est géniale merci, mais est ce que y a pas d'autres façon? est ce qu'on est obligé d'enlever les parenthèses pour résoudre l'équation dessus : (2p+1)(2q+1)=3(p+1)(q+1) ?
OK donc on a à résoudre l'équation (2p+1)(2q+1)=3(p+1)(q+1) ce qui donne p+q=pq
et d'après gauss puisque p/p+q donc p/q et de l'autre coté puisque q/p+q donc q/p ce qui signifie que p=q
et en remplaçant p par q (par éxample) dans l'équation : p+q=pq on aura 2q=q² ce qui donne q=p=2 d'où a=36 .
C'est géniale merci, mais est ce que y a pas d'autres façon? est ce qu'on est obligé d'enlever les parenthèses pour résoudre l'équation dessus : (2p+1)(2q+1)=3(p+1)(q+1) ?
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Re: Trouver l'entier naturel a
Bonjour,
tu as fait une erreur de calcul dans ton équation \((2p+1)(2q+1)=3(p+1)(q+1)\)
donne : \(4pq+2p+2q+1=3(pq+p+q+1)\) soit \(4pq+2p+2q+1=3pq+3p+3q+3\) soit \(pq-p-q-2=0\)
et c'est là qu'il faut un peu ruser : débrouille-toi pour factoriser les termes en \(p\) et \(q\) cela te donnera une équation de la forme \((... - ...)(...-...)=3\) ce qui te permettra d'obtenir des valeurs pour \(p\) et \(q\).
Ensuite, il s'agira de vérifier que les entiers ainsi construits pour les valeurs de \(p\) et \(q\) vérifient bien la condition de départ.
Bonne continuation
tu as fait une erreur de calcul dans ton équation \((2p+1)(2q+1)=3(p+1)(q+1)\)
donne : \(4pq+2p+2q+1=3(pq+p+q+1)\) soit \(4pq+2p+2q+1=3pq+3p+3q+3\) soit \(pq-p-q-2=0\)
et c'est là qu'il faut un peu ruser : débrouille-toi pour factoriser les termes en \(p\) et \(q\) cela te donnera une équation de la forme \((... - ...)(...-...)=3\) ce qui te permettra d'obtenir des valeurs pour \(p\) et \(q\).
Ensuite, il s'agira de vérifier que les entiers ainsi construits pour les valeurs de \(p\) et \(q\) vérifient bien la condition de départ.
Bonne continuation
Re: Trouver l'entier naturel a
Oui désolé pour l'erreur
je trouve (q-1)(p-1)=3
et d'après gauss (si je me trompe pas) 3 est premier et 3/(q-1)(p-1) donc 3/q-1 ou bien 3/p-1
si 3/q-1 => q-1≡0[3] => q≡1[3] => q=3k+1 et en remplaçant dans l'équation on trouve (3k+1-1)(p-1)=3
donc 3k(p-1)=3 => k(p-1)=1 => k=1 et p=2 forcément. et en remplaçant la valeur de k dans q=3k+1 on aura q=4
d'où a=2²×3^4 = 4×81 = 324.
et si 3/p-1 on trouve symétriquement et logiquement q=2 et p=4 d'où a=2^4×3² = 16×9 = 144
Donc finalement a∈{144 ; 324}
Oui j'ai vérifié et normalement ça doit être juste (je l'espère), mais c'est long quand même
je trouve (q-1)(p-1)=3
et d'après gauss (si je me trompe pas) 3 est premier et 3/(q-1)(p-1) donc 3/q-1 ou bien 3/p-1
si 3/q-1 => q-1≡0[3] => q≡1[3] => q=3k+1 et en remplaçant dans l'équation on trouve (3k+1-1)(p-1)=3
donc 3k(p-1)=3 => k(p-1)=1 => k=1 et p=2 forcément. et en remplaçant la valeur de k dans q=3k+1 on aura q=4
d'où a=2²×3^4 = 4×81 = 324.
et si 3/p-1 on trouve symétriquement et logiquement q=2 et p=4 d'où a=2^4×3² = 16×9 = 144
Donc finalement a∈{144 ; 324}
Oui j'ai vérifié et normalement ça doit être juste (je l'espère), mais c'est long quand même
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Re: Trouver l'entier naturel a
Bonjour,
ta démarche est correcte mais tu peux aller un peu plus vite en disant que la seule décomposition de 3 en produit d'entiers est \(3=3\times 1\).
Tu as donc deux cas symétriques :
Bonne conclusion
ta démarche est correcte mais tu peux aller un peu plus vite en disant que la seule décomposition de 3 en produit d'entiers est \(3=3\times 1\).
Tu as donc deux cas symétriques :
- soit \(p-1=1\) et \(q-1=3\) ce qui mène à \(p=2\) et \(q=4\), puis \(a=2^2\times 3^4=324\)
- soit \(p-1=3\) et \(q-1=1\) ce qui mène à \(p=4\) et \(q=2\), puis \(a=2^4\times 3^2=144\)
Bonne conclusion
Re: Trouver l'entier naturel a
👍 oui c'est joli, merci merci pour tous vos éclaircissements
Oui les 2 valeurs de a vérifient la condition de départ .
J'ai une autre question d'ordre théorique si je peux me permettre concerne l'analyse
Est ce qu'on peut dire qu'une fonction f est dérivable sur une union d'intervalles par exemple R* ? ou bien on doit séparer les intervalles et dire que f est dérivable sur ]-∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[ ?
Parce que j'entends par fois que mathématiquement c'est faux de dire f est dérivable sur R*, et en parallèle je tombe beaucoup sur cette expression (dérivabilité sur union d'intervalles) sur des livres, polycopies, sites internet .....
Pourriez vous m'éclaircir sur ce point svp ? sans tenir compte du niveau terminal ou pas, une explication mathématique tout court. Merci infiniment 👍
Oui les 2 valeurs de a vérifient la condition de départ .
J'ai une autre question d'ordre théorique si je peux me permettre concerne l'analyse
Est ce qu'on peut dire qu'une fonction f est dérivable sur une union d'intervalles par exemple R* ? ou bien on doit séparer les intervalles et dire que f est dérivable sur ]-∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[ ?
Parce que j'entends par fois que mathématiquement c'est faux de dire f est dérivable sur R*, et en parallèle je tombe beaucoup sur cette expression (dérivabilité sur union d'intervalles) sur des livres, polycopies, sites internet .....
Pourriez vous m'éclaircir sur ce point svp ? sans tenir compte du niveau terminal ou pas, une explication mathématique tout court. Merci infiniment 👍
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Re: Trouver l'entier naturel a
Bonjour,
l'habitude de prendre des intervalles pour parler de la dérivabilité sert plutôt à simplifier les choses car en fait une fonction peut être dérivable sur autre chose qu'un intervalle : la notion topologique qui convient plutôt est la notion d'ouvert. Comme une réunion d'ouverts est un ouvert, alors on peut bien parler de dérivabilité sur l'ouvert \(\mathbb{R}^{*}=]-\infty\,;\,0[\cup]0\,;\,+\infty[\).
Voilà la réponse que je formulerai : pour simplifier les choses et par convention, on écrit les propriétés sur un intervalle mais cela peut rester vrai (mais pas tout le temps) sur des réunions d'intervalles : c'est le cas lorsque l'on prend des réunions d'intervalles ouverts.
Est-ce plus clair ?
l'habitude de prendre des intervalles pour parler de la dérivabilité sert plutôt à simplifier les choses car en fait une fonction peut être dérivable sur autre chose qu'un intervalle : la notion topologique qui convient plutôt est la notion d'ouvert. Comme une réunion d'ouverts est un ouvert, alors on peut bien parler de dérivabilité sur l'ouvert \(\mathbb{R}^{*}=]-\infty\,;\,0[\cup]0\,;\,+\infty[\).
Voilà la réponse que je formulerai : pour simplifier les choses et par convention, on écrit les propriétés sur un intervalle mais cela peut rester vrai (mais pas tout le temps) sur des réunions d'intervalles : c'est le cas lorsque l'on prend des réunions d'intervalles ouverts.
Est-ce plus clair ?
Re: Trouver l'entier naturel a
Re-bonjour
D'accord oui c'est clair, donc mathématiquement ce n'est pas faux de dire que f est dérivable sur son ensemble de définition qui est une réunion d'intervalles comme ]-∞ ; -1[∪]3 ; +∞[ au lieu de dire qu'elle est dérivable sur ]-∞ ; -1[ et sur ]3 ; +∞[ .
Dans le même cadre, et pour ce qui est du sens de variations, oui je sais qu'une fonction qui soit décroissante sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ ce n'est pas forcément qu'elle soit décroissante sur la réunion comme la fonction inverse, et je sais que si une fonction qui est croissante sur une réunion d'intervalles elle l'est aussi sur chaque intervalle ( y a une implication là). mais ma question est la suivante : " si une fonction est croissante sur une réunion d'intervalles, est ce que de dire qu'elle est croissante sur chaque intervalle est rigoureusement juste ?" bien que c'est juste analytiquement bien sûr puisque y a implication
voici un bon exemple d'une fonction à une seule expression \(f(x)=\frac{e^{2x}-1}{x}\)
là pour l'étude de monotonie, f est croissante sur R*, mais à mon avis je crois que c'est faux de dire qu'elle est croissante sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ (j'entend par faux coté rigueur mathématique seulement car bien entendu analytiquement ce n'est pas faux). Voila est ce que mon raisonnement est juste ?
j'attends passionnément votre explication car cette question me casse vraiment la tête. MERCI INFINIMENT
D'accord oui c'est clair, donc mathématiquement ce n'est pas faux de dire que f est dérivable sur son ensemble de définition qui est une réunion d'intervalles comme ]-∞ ; -1[∪]3 ; +∞[ au lieu de dire qu'elle est dérivable sur ]-∞ ; -1[ et sur ]3 ; +∞[ .
Dans le même cadre, et pour ce qui est du sens de variations, oui je sais qu'une fonction qui soit décroissante sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ ce n'est pas forcément qu'elle soit décroissante sur la réunion comme la fonction inverse, et je sais que si une fonction qui est croissante sur une réunion d'intervalles elle l'est aussi sur chaque intervalle ( y a une implication là). mais ma question est la suivante : " si une fonction est croissante sur une réunion d'intervalles, est ce que de dire qu'elle est croissante sur chaque intervalle est rigoureusement juste ?" bien que c'est juste analytiquement bien sûr puisque y a implication
voici un bon exemple d'une fonction à une seule expression \(f(x)=\frac{e^{2x}-1}{x}\)
là pour l'étude de monotonie, f est croissante sur R*, mais à mon avis je crois que c'est faux de dire qu'elle est croissante sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ (j'entend par faux coté rigueur mathématique seulement car bien entendu analytiquement ce n'est pas faux). Voila est ce que mon raisonnement est juste ?
j'attends passionnément votre explication car cette question me casse vraiment la tête. MERCI INFINIMENT
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Re: Trouver l'entier naturel a
Bonjour,
je ne comprends pas trop ta question car j'ai l'impression que tu y as répondu.
En reprenant la définition algébrique d'une fonction croissante, on a clairement l'implication que si f est croissante sur une réunion d'intervalles alors elle l'est sur chacun des intervalles.
La réciproque est fausse comme tu l'as dit en considérant la fonction inverse.
C'est ce genre de nuance qui fait que dans le secondaire, on évite de parler de sens de variation sur une réunion d'intervalle et qu'on se limite à un intervalle, notamment pour simplifier les utilisations qui en découlent, comme le théorème des valeurs intermédiaires.
Pour ton exemple, ta fonction est prolongeable par continuité en 0 (un prolongement \(\mathscr{C}^{1}\) est même vrai), ce qui fausse un peu le problème. Par ailleurs, je ne vois pas en quoi elle représente un "contre-exemple" ou alors je n'ai pas compris ta demande.
Merci de m'éclairer.
je ne comprends pas trop ta question car j'ai l'impression que tu y as répondu.
En reprenant la définition algébrique d'une fonction croissante, on a clairement l'implication que si f est croissante sur une réunion d'intervalles alors elle l'est sur chacun des intervalles.
La réciproque est fausse comme tu l'as dit en considérant la fonction inverse.
C'est ce genre de nuance qui fait que dans le secondaire, on évite de parler de sens de variation sur une réunion d'intervalle et qu'on se limite à un intervalle, notamment pour simplifier les utilisations qui en découlent, comme le théorème des valeurs intermédiaires.
Pour ton exemple, ta fonction est prolongeable par continuité en 0 (un prolongement \(\mathscr{C}^{1}\) est même vrai), ce qui fausse un peu le problème. Par ailleurs, je ne vois pas en quoi elle représente un "contre-exemple" ou alors je n'ai pas compris ta demande.
Merci de m'éclairer.
Re: Trouver l'entier naturel a
Non, vous m'avez tout expliqué, merci beaucoup, peut être que j'ai mal formulé ma demande mais vous m'avez répondu clairement
"C'est ce genre de nuance qui fait que dans le secondaire, on évite de parler de sens de variation sur une réunion d'intervalle et qu'on se limite à un intervalle"
"C'est ce genre de nuance qui fait que dans le secondaire, on évite de parler de sens de variation sur une réunion d'intervalle et qu'on se limite à un intervalle"
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: Trouver l'entier naturel a
Merci pour ta réponse.
A bientôt sur le forum.
SoSMath.
A bientôt sur le forum.
SoSMath.
Re: Trouver l'entier naturel a
Bonjour,
Si f une fonction définie et continue sur [a;b[ (par exemple) et elle est dérivable à droite de a, donc on peut dire qu'elle est dérivable en a malgré que la dérivé à gauche n'existe pas ? on peut prendre l'exemple de f(x)=x√x qui est définie sur R+ et qui est dérivable à droite de 0
Merci
Si f une fonction définie et continue sur [a;b[ (par exemple) et elle est dérivable à droite de a, donc on peut dire qu'elle est dérivable en a malgré que la dérivé à gauche n'existe pas ? on peut prendre l'exemple de f(x)=x√x qui est définie sur R+ et qui est dérivable à droite de 0
Merci
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Re: Trouver l'entier naturel a
Bonjour,
une fonction est dérivable sur un intervalle réel fermé et borné (c'est-à-dire sur un segment réel) non réduit à un point si elle est dérivable sur l'intérieur de cet intervalle et dérivable à droite en sa borne gauche, et dérivable à gauche en sa borne droite.
Dans le cas de ta fonction, elle n'est pas définie à gauche de 0 donc on n'étudie la dérivabilité qu'à droite et on conclut qu'elle est dérivable en 0 car la limite du taux d'accroissement est égal à 0.
Je n'avais pas été clair dans mon message précédent car je m'étais attaché à la dérivabilité à gauche et à droite, ce qui ne correspondait pas à la situation évoquée.
Bonne continuation
une fonction est dérivable sur un intervalle réel fermé et borné (c'est-à-dire sur un segment réel) non réduit à un point si elle est dérivable sur l'intérieur de cet intervalle et dérivable à droite en sa borne gauche, et dérivable à gauche en sa borne droite.
Dans le cas de ta fonction, elle n'est pas définie à gauche de 0 donc on n'étudie la dérivabilité qu'à droite et on conclut qu'elle est dérivable en 0 car la limite du taux d'accroissement est égal à 0.
Je n'avais pas été clair dans mon message précédent car je m'étais attaché à la dérivabilité à gauche et à droite, ce qui ne correspondait pas à la situation évoquée.
Bonne continuation
Re: Trouver l'entier naturel a
ok merci beaucoup