Etude de fonctions

[SoS-Math(33)]

Il te faut partir de :
$ax + \large\frac{bx}{x^2-1}$, tu réduis au même dénominateur et ensuite tu identifies terme à terme avec $\large\frac{x^3}{x^2-1}$

[Maëlle]

D'accord merci !

$ax + \frac{bx}{x^2-1}$
= $\frac{ax(x^2-1)}{x^2-1}$ + $\frac{bx}{x^2-1}$
= $\frac{ax(x^2-1)+bx}{x^2-1}$
= $\frac{ax^3-ax+bx}{x^2-1}$

Là je factorise ?

[SoS-Math(33)]

Non tu identifies terme à terme avec $\large\frac{x^3}{x^2-1}$
$\large\frac{ax^3-ax+bx}{x^2-1} = \frac{x^3}{x^2-1}$ ce qui donne :
$ax^3 = x^3$
et $-ax+bx = 0$
ainsi tu veux trouver les valeurs de a et b

[Maëlle]

Aaah mais oui merci !

Du coup a =1
--> -1*x+bx=0
-->bx=x
--> b=1

[SoS-Math(33)]

Oui c'est ça.
Tu peux continuer

[Maëlle]

$f(x)-ax =ax+\frac{bx}{x^2-1}-ax =\frac{bx}{x^2-1}$
Puisque b=1, alors on cherche:
$\lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{x}{x^2-1}$

$\lim_{x\rightarrow -\infty } x= -\infty$
$\lim_{x\rightarrow -\infty } x^2-1 = +\infty$
Donc par quotient, $\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)-ax=-\infty$

[SoS-Math(33)]

Il te faut remplacer a et b dès le début des calculs.
La limite est fausse, tu as une FI
$f(x)-x = x + \frac{x}{x^2-1} -x$
$f(x)-x = \frac{x}{x^2-1}$
Pour la limite il te faut faire comme à la question 4.
Tu dois trouver 0 pour pouvoir dire qu'il y a une asymptote oblique ensuite

[Maëlle]

Ah mince c'est vrai que $\frac{-\infty }{+\infty }$ c'est aussi une forme indéterminée. Je pensais qu'il fallait simplement appliquer la règle des signes :')

Du coup:
$\frac{x}{x^2-1}$
= $\frac{1}{x-1}$

$\lim_{x\rightarrow -\infty } 1 = 1$
$\lim_{x\rightarrow -\infty } x-1 = -\infty$
Par quotient, $\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)-ax=0$

J'aurais pu faire autrement avec la question 4 ?
On n'a pas encore étudié l'asymptote oblique en classe, seulement la verticale et horizontale. Comment je peux prouver que s'en est une ?

[SoS-Math(33)]

Du coup:
$\frac{x}{x^2-1}$
= $\frac{1}{x-1}$ c'est faux

$\frac{x}{x^2-1} = \frac{x}{x^2(1-\frac{1}{x^2})}$
$= \frac{1}{x(1-\frac{1}{x^2})}$
De façon générale, quand tu as
$\lim_{x\rightarrow \infty } f(x)-(ax+b)=0$ cela est interprété par le fait que la droite $y=ax+b$ est une asymptote oblique à la fonction $f$ en l'infini

[Maëlle]

Ah oui du coup la droite delta est une asymptote oblique à la courbe Cf ! Merci encore.

Pour la 5, delta est tangente à la courbe Cf ?

[SoS-Math(33)]

La question 5) c'est déterminer a et b tu l'as déjà fait
La 6) c'est la limite et dire que c'est une asymptote
La 7) il te faut déterminer la position relative en étudiant le signe de la différence $f(x)-x$

[Maëlle]

Oui c'était la 7 dont je parlais je me suis trompée :')

$f(x)-x = \frac{x}{x^2-1}$
La fonction est positive, donc la courbe Cf est au-dessus de l'asymptote ?

[SoS-Math(33)]

Oui la courbe est au dessus de l'asymptote

[Maëlle]

Super !

Pour f'(x):
$u=x^3$
$v= x^2-1$
$u'= 3x^2$
$v'=2x$

Donc:
$f'(x)= \frac{3x^2(x^2-1)-(x^3*2x)}{(x^2-1)^2}$
= $\frac{3x^4-3x^2-2x^4}{(x^2-1)^2}$
= $\frac{-3x^2+x^4}{(x^2-1)^2}$

[SoS-Math(33)]

Oui c'est correct