Equation dans C Maths Expertes

[Aliyah]

Bonjour j’ai besoin d’aide pour résoudre dans C les équations suivantes :


z**2 - 4i =0

z**2 + 16i =0


Merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
dans le corps des complexes, une équations de la forme \(z^2=a\) a toujours des solutions : 1 solution si \(a=0\) et deux solutions si \(a\neq 0\).
Il s'agit ensuite de trouver ces solutions.
En l'absence de méthode générale, tu peux essayer de revenir dans le corps des réels en posant \(z=x+iy\) et en identifiant partie réelle et partie imaginaire de cette équation :
\(z^2-4i=0\) est équivalente à \((x+iy)^2-4i=0\) soit en développant \(x^2-y^2+i(2xy-4)=0\) ce qui te donne deux équations (partie réelle égale à 0 et partie imaginaire égale à 0) :
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}x^2-y^2&=&0\\2xy-4&=&0\end{array}\right.\)
Il restera ensuite à envisager les cas \(x=y\) ou \(x=-y\) issus de la première équation.
Pour accompagner ta résolution, tu peux consulter la vidéo suivante : https://youtu.be/pJ3ljln3xx0
Bonne continuation

[Aliyah]

Merci beaucoup , j’ai du mal a trouver la valeur de x et de y

[Aliyah]

J’ai aussi besoin d’aide pour les consignes ci - dessous :

1 . Démontrez que pour tout nombre complexe z , on a z appartenant à R , équivalent à z = z (barre)
2. Démontrez que tout nombre complexe z , on a z appartenant à la partie imaginaire de z , équivalant à z=-z (barre)

[sos-math(21)]

Bonjour,
Pour la résolution de l'équation \(z^2-4i=0\)
Tu as \(x^2=y^2\) donc \(x=y\) ou \(x=-y\).

• Si \(x=y\), l'équation (2) devient \(2x^2-4=0\) donc \(x^2=2\) soit \(x=\sqrt{2}=y\) ou \(x=-\sqrt{2}=y\).
  on a donc deux solutions \(z_1=\sqrt{2}+i\sqrt{2}\) et \(z_2=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}\)
• Si \(x=-y\), l'équation (2) devient \(-2x^2-4=0\) soit \(x^2=-2\) qui n'a pas de solution.

Il y a donc deux "candidats" solutions et il faut vérifier que ces deux candidats sont bien solutions en calculant leur carré :
on a bien \(z_1^2=(\sqrt{2}+i\sqrt{2})^2=2+4i-2=4i\) et \(z_2^2=(-z_1)^2=z_1^2=4i\).
On a alors trouvé toutes les solutions.
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation

[sos-math(21)]

Bonjour,
je réponds à la question concernant les conjugués :
tu peux partir de l'écriture algébrique d'un complexe : \(z=x+iy\) et dans ce cas \(\bar{z}=x-iy\).
on a donc les équivalences suivantes : \(\require{cancel} z=\bar{z}\Longleftrightarrow \cancel{x}+iy=\cancel{x}-iy\Longleftrightarrow iy=-iy\Longleftrightarrow 2iy=0\Longleftrightarrow y=0\Longleftrightarrow z \text{ est réel}\)
Je te laisse faire le même type d'équivalence avec le fait que \(z\) soit imaginaire pur :
\(\require{cancel}\bar{z}=-z\Longleftrightarrow x\cancel{-iy}=-x\cancel{-iy}\Longleftrightarrow\ldots\)
Bonne continuation

[Aliyah]

Merci beaucoup pour votre aide

[sos-math(21)]

Bonjour,
merci pour ton retour.
Bonne continuation et à bientôt sur sos-math

[Aliyah]

Bonjour , j’ai un autre exercice à faire , je dois rédoudre cette équation dans C : 1 + z + z**2 + z**3 + z**4 + z**5 =0

Je pense que je dois la transformer en une équation du 2nd degré pour pouvoir résoudre car nous avons pas encore vu les equations du 3eme degré et autres en classe.

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
une petite aide de démarrage :
\(1+z+z^2+z^3+z^4+z^5 = 1+z+z^2(1+z)+z^4(1+z)= (1+z)(1+z^2+z^4)\)
donc \(1+z+z^2+z^3+z^4+z^5 = 0\) donne \((1+z)(1+z^2+z^4) = 0\)
on doit résoudre \(1+z=0\) et \(1+z^2+z^4=0\), pour cette équation on fait un changement de variable en posant \(y=z^2\) ce qui donne une équation du second degré.
Comprends tu?
Je te laisse poursuivre
SoS-math