SOS-MATH

Bonjour,
je suis en train d'effectuer un exercice de bac et j'ai un problème à une question :

J'ai uo=0 et Un+1 = racine carré de (3Un+4).

- J'ai démontrer par récurrence que Un était majorée par 4 comme ceci :
U0 = 0 donc Uo<4 ==> initialisation vérifiée
Supposons que Un<4 alors racine carré de (3Un+4) <racine carré de (12+4) alors Un+1< racine carré de 16 donc Un+1<ou égale à 4 ==> Hérédité vérifiée
Conclusion : Un est majorée par 4

- puis qu'elle était croissante :
Uo=0 et U1 = racine carré de 7 donc U1>U0 ==> initialisation vérifiée
Supposons que Un<Un+1 alors racine carré de (3Un+4) < racine carré de (3Un+1+4) donc Un+1<Un+2 ==> hérédité vérifiée
Conclusion : Un est strictement croissante

- J'en ai déduit que Un converge.

Ils me demandent désormais la limite de Un, voici ce que j'ai fait :
Si Un est strictement croissante alors limUn=limUn+1=L donc lim racine carré de (3Un+4) = racine carré de (3L+4) donc L ) racine carré de (3L+4) .. C'est ici que je suis bloquée, je n'arrive pas à résoudre l'équation pour trouver L ..
Ai-je le droit de dire que :
L-racinecarré de (3l+4) = 0
<=> L - racine carré de 3L +2 = 0
<=> L² - 3racinedeL +2 =0

Puis résoudre l'équation du seconde degré ?
De plus est ce que mes récurrences ci-dessus sont justes ?
Merci de votre aide.

Bonjour,
Pour l'instant tout ce que tu as fait (majoration, croissance, convergence me semble correct,
la limite est bien à chercher en résolvant \(\ell=f(\ell)\), soit \(\ell=\sqrt{3\ell+4}\)
avec \(\ell>0\), il te reste à résoudre cette équation, mais ce qui bloque c'est la racine carrée : il faut la faire partir !
Oui, mais comment ? Le seul moyen de faire disparaitre une racine carrée, c'est d'élever ton égalité au carré :
\(\ell^2=\left(\sqrt{3\ell+4}\right)^2\) soit \(\ell^2=3\ell+4\) donc \(\ell^2-3\ell-4=0\) donc tu auras ensuite une équation du second degré à résoudre , tu dois savoir faire et tu auras deux solutions donc une seule conviendra puisque on a la condition \(\ell>0\), par construction de la suite.
Bon courage pour la suite,
Sos math

Merci, cela fonctionne.

A binetôt,
SoSMath.