SOS-MATH

Bonsoir, voici le contenu de mon exercie :
"Une chaîne payante de la télévision française a effectué des statistiques au cours des dernières années concernant son nombre d'abonnés. Elle affirme que chaque année 80% de ses clients se réengagent pour l'année suivante et qu'en même temps 75 000 nouveaux clients apparaissent. A ce jour, cette chaîne de télévision compte 550 000 abonnés.

On note an le nombre d'abonnés de la chaîne après n années. On a donc : a0 = 550 000

a) Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n on a an+1 = 0,8an + 75 000

Là je mets que l'on note 0,8 an qui correspond à 80 % des clients qui se réengagent et 75 000 qui correspond aux nouveaux clients.

b) On pose désormais : pour n E N, vn = an - 375 000. Montrer que la suite (vn) est géométrique de raison q=0,8. On précisera alors le premier terme de la suite (vn).

Et c'est là que je bloque, alors pourtant que j'imagine qu'il s'agit de quelque chose très simple. Pourriez-vous me fournir des pistes ?

Donc si je suis vos pistes,

je fais : vn+1 = an+1 - 375 000
= (0,8an + 75000) - 375 000 (avec an la valeur a0 = 550 000)
= 515 000 - 375 000
= 140 000

donc ensuite je prends ce résultat que je multiplie par vn qui est 0,8 ?

Bonsoir,

Il ne faut pas remplacer an par a0.
Par contre tu peux remplacer an par une expression qui contient vn.
sosmath

Bonjour,

ok j'ai donc recalculé avec ce que vous m'avez proposé.

J'ai donc une expression qui ressemble à :
vn+1 = [0,8(an - 375 000) + 75 000] - 375 000

= [0,8an + 300 000 + 75 000] - 375 000
= 0,8 an + 375 000 - 375 000 (je barre les 375 000)
donc vn+1= 0,8 an

Est-ce bien ça et cela montre-t-il que la suite est géométrique ?

Merci !

Donc dans le cas présent je n'ai plus qu'à préciser le premier terme de la suite (vn).
Je prends donc 0,8an et an=a0=550 000

ce qui fait v0= 0,8 x 550 000 = 440 000

Est-ce ça ?

Ensuite pour la question c : Exprimer vn puis an en fonction de n.

J'écris :
D’après le cours, on a : vn+1 = vn x q pour tout n E ℕ.
Et donc, pour tout n E ℕ, on a : vn = 0,8an

Puis pour an en fonction de n
D’après le cours, on a : un+1 = aUn+b pour tout n E ℕ.
Et donc, pour tout n E ℕ, on a : an = 0,8an + 75 000 ???

Je ne suis pas sûr de mes réponses sur ce point là ....

Bonjour,
Tu as prouvé que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison 0,8, donc d'après ton cours, tu as \(v_n\) en fonction de n : \(v_n=v_0\times0,8^n\).
Pour trouver \(v_0\), il suffit de reprendre la relation qui lie \((a_n)\) et \((v_n)\), \(v_n=a_n-375\,000\) et de regarder pour n=0, tu auras donc \(v_0\), en fonction de \(a_0\) que tu connais.
Pour trouver l'expression de \(a_n\) en fonction de n, il te suffit de reprendre l'expression \(v_n=a_n-375\,000\) et de la transformer un peu en passant le 375 000 de l'autre côté :
\(a_n=v_n+375\,000\), donc il suffira ensuite de remplacer \(v_n\) par l'expression que tu auras trouvé auparavant.
Bon courage pour la suite,
Sos-maths