Suites arithmético-géométriques

[eleve79]

Bonsoir, voici le contenu de mon exercie :
"Une chaîne payante de la télévision française a effectué des statistiques au cours des dernières années concernant son nombre d'abonnés. Elle affirme que chaque année 80% de ses clients se réengagent pour l'année suivante et qu'en même temps 75 000 nouveaux clients apparaissent. A ce jour, cette chaîne de télévision compte 550 000 abonnés.

On note an le nombre d'abonnés de la chaîne après n années. On a donc : a0 = 550 000

a) Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n on a an+1 = 0,8an + 75 000

Là je mets que l'on note 0,8 an qui correspond à 80 % des clients qui se réengagent et 75 000 qui correspond aux nouveaux clients.

b) On pose désormais : pour n E N, vn = an - 375 000. Montrer que la suite (vn) est géométrique de raison q=0,8. On précisera alors le premier terme de la suite (vn).

Et c'est là que je bloque, alors pourtant que j'imagine qu'il s'agit de quelque chose très simple. Pourriez-vous me fournir des pistes ?

[sos-math(20)]

Bonsoir,

Tu sais que \(v_n = a_n -375000\); applique cette formule au rand n+1 puis remplace \(a_{n+1}\)par l'expression que tu as trouvée au a). Ensuite tu devras trouver une expression du type \(v_{n+1} = ... \times v_n\).
A toi de compléter les points de suspension. (Tu dois trouver un nombre)

Bon courage.

SOS-math

[eleve79]

Donc si je suis vos pistes,

je fais : vn+1 = an+1 - 375 000
= (0,8an + 75000) - 375 000 (avec an la valeur a0 = 550 000)
= 515 000 - 375 000
= 140 000

donc ensuite je prends ce résultat que je multiplie par vn qui est 0,8 ?

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,

Il ne faut pas remplacer an par a0.
Par contre tu peux remplacer an par une expression qui contient vn.
sosmath

[eleve79]

Bonjour,

ok j'ai donc recalculé avec ce que vous m'avez proposé.

J'ai donc une expression qui ressemble à :
vn+1 = [0,8(an - 375 000) + 75 000] - 375 000

= [0,8an + 300 000 + 75 000] - 375 000
= 0,8 an + 375 000 - 375 000 (je barre les 375 000)
donc vn+1= 0,8 an

Est-ce bien ça et cela montre-t-il que la suite est géométrique ?

[sos-math(20)]

Bonjour,

Voilà, c'est totalement correct ! C'est bien.

A bientôt sur SOS-math

[eleve79]

Merci !

Donc dans le cas présent je n'ai plus qu'à préciser le premier terme de la suite (vn).
Je prends donc 0,8an et an=a0=550 000

ce qui fait v0= 0,8 x 550 000 = 440 000

Est-ce ça ?

Ensuite pour la question c : Exprimer vn puis an en fonction de n.

J'écris :
D’après le cours, on a : vn+1 = vn x q pour tout n E ℕ.
Et donc, pour tout n E ℕ, on a : vn = 0,8an

Puis pour an en fonction de n
D’après le cours, on a : un+1 = aUn+b pour tout n E ℕ.
Et donc, pour tout n E ℕ, on a : an = 0,8an + 75 000 ???

Je ne suis pas sûr de mes réponses sur ce point là ....

[sos-math(21)]

Bonjour,
Tu as prouvé que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison 0,8, donc d'après ton cours, tu as \(v_n\) en fonction de n : \(v_n=v_0\times0,8^n\).
Pour trouver \(v_0\), il suffit de reprendre la relation qui lie \((a_n)\) et \((v_n)\), \(v_n=a_n-375\,000\) et de regarder pour n=0, tu auras donc \(v_0\), en fonction de \(a_0\) que tu connais.
Pour trouver l'expression de \(a_n\) en fonction de n, il te suffit de reprendre l'expression \(v_n=a_n-375\,000\) et de la transformer un peu en passant le 375 000 de l'autre côté :
\(a_n=v_n+375\,000\), donc il suffira ensuite de remplacer \(v_n\) par l'expression que tu auras trouvé auparavant.
Bon courage pour la suite,
Sos-maths