Complexes équation du 4ème degré

[eleve16]

Bonjour,
Voici mon énnoncé :
On pose P(z)=z^4-6z^3+23z^2-34z+26
α est un nombre complexe quelconque
1) démontrer que P(conjugué de α)=conjugué de P(α)
2) Déduire que si P(α)=0 alors P(conjugué de α)=0

Je ne comprend pas trop comment démontrer le 1
Je sais que le conjugué d'une somme est égale à la somme des conjugués
et que c'est pareil pour un produit mais alors :
P(conjugué de α)=conjugué z^4 -6 conj z^3 +23 conj z +26 ??

Faut-il écrire cette expression avec z=a+bi et conj z=a-bi et après développer ? J'ai essayé cela me donne une expression longue et compliquée..

Merci par avance pour votre aide

[SoS-Math(9)]

Bonjour,

Il faut en effet utiliser les propriétés du conjugué ....\(\overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}\) etc ...
Donc \(\overline{P(a)}=\overline{a^4-6a^3+23a^2-34a+26}=...\).

Pour la question 2, il faut utiliser la question 1 ...

Bon courage,
SoSMath.

[eleve16]

Bonjour,
Merci pour votre réponse
Donc si j'ai bien compris :
\(\overline{P(a)}=\overline{a^{4}}-\overline{6a^{3}}+\overline{23a^{2}}-\overline{34a}+\overline{26}\)
D'où,
\(\overline{P(a)}=\overline{a^{4}}-6\overline{a^{3}}+23\overline{a^{2}}-34\overline{a}+26\)
Car le conjugué d'une somme est égale à la somme de conjugué
Et\(\overline{6}=6\)
\(\overline{23}=23\)
\(\overline{34}=34\)
\(\overline{26}=26\)

De plus,
\(P(\overline{a})=\overline{a^{4}}-6\overline{a^{3}}+23\overline{a^{2}}-34\overline{a}+26\)

Ainsi, \(P(\overline{a})=\overline{P(a)}\)

[eleve16]

Rebonjour :)

Par contre je ne comprends pas pour la suite :
- Faut-il que je développe P(a)=0 ?
Mais je bloque très rapidement ne sachant pas résoudre les équations du 4ème degré
Ou sinon dire maintenant que α=a+bi ?
et après développer ?

Merci pour vos très précieuses explications

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Si\(P(a) = 0\) alors \(\bar{ P(a)} = 0\) d'après la question précédente tu as \(\bar{P(a)} = P(\bar{a}) = 0\) ; donc si \(a\) est solution il en est de même de \(\bar{a}\).
Pense alors que tu peux factoriser P(z) en mettant en facteur \((z - a)(z-\bar a)\) qui sera multiplié par un polynome du second degré dont tu vas calculer les coefficients par identification. Il ne te restera alors qu'une équation du second degré que tu sais résoudre.

Bonne fin d'exercice

[eleve16]

D'accord
Merci pour votre aide.