limite de n/(2sin n)

[eleve17]

Bonjour
je dois étudier la limite de u_n= n/(2sin(n))
Par tracé, je vois qu'elle diverge.
je montre que la valeur absolue de un est inférieur à n/2 donc cette valeur absolue de un tend vers + infini
Mais je ne vois pas comment montrer que un n'a pas de limite
Merci d'avance

[SoS-Math(4)]

Bonjour ,

Il serait utile de montrer que la limite de sin(n)/n est 0 lorsque n tend vers l'infini.

sosmaths

[eleve17]

bonjour,
la limite de sin n / n est 0 grâce au théorème des gendarmes, mais ça peut etre 0+ ou 0- donc en prenant l'inverse +infini ou - infini.
le problème s'est comment montrer que un n'a pas de limite :(

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Bien , tu as avancé, tu as montré que Un diverge, car si une limite existe elle est infinie.
Pour démontrer que Un n'a ps de limite, il suffirait de montrer que la suite change de signes régulièrement, c'est à dire il suffirait de montrer que sin(n) change de signe régulièrement. C'est moins facile mais intéressant;
Je vais prouver qu'il y a une infinité de valeur de n pour lesquelles sin(n)>0

Je sais que sin(x) >0 si x est dans ]0, pi[ ou ]2pi; 3pi[ ou ]4pi, 5pi[ etc ....]2kpi, (2k+1)pi[ donc dans l'un des intervalles en nombre infini.
Or, chacun de ces intervalles a pour largeur pi, donc la largeur est supérieur à 3.. Donc chaque intervalle contient au moins TROIS ENTIERS. Il y a donc une infinité de valeurs de n tels que sin(n)>0

Tu vas maintenant prouver qu'il y a une infinité de valeurs de n tel que sin(n)<0
Puis conclure.

sosmaths

[eleve17]

Merci