SOS-MATH

Bonjour, notre professeur nous a donné un DM fondé sur des exercices de classes préparatoires et je n'y arrive pas ..
Voici l'énoncé & la première question où je bloque pour le moment :

Soit a,b,c et d quatre nombres réels ( cdifférent de 0). On définit la suite (Un) n appartenant au entiers naturels par :

Uo appartient à R et U(n+1) = aUn+b / cUn+d

Et on suppose que pour tout n appartenant aux entiers naturels, cUn+d est différent de O

Soit f la fonction définie sur R privé de -d/c par f(x) = ax+b/cx+d

1) Montrer que si ad-bc=0 alors la suite (Un) avec n appartenant aux entiers naturels est constante à partir du rang 1.

Voici mes recherche :
J'ai essayer de calculer U(n+1) =Un mais je n'aboutis à rien .
Ensuite j'ai essayé de faire la récurrence à partir du rang 1 comme ceci :
- U1 : aUo+b/ cU0+d

- U2 = aU1+b/cU1+d
=[a(aUo+b/cUo+d)+b] / [c(aU0+b/cU0+d) + d]
Mais je n'aboutis en aucun cas à ad-bc à un moment donné ...

Pouvez vous m'aider ?
Merci.

Bonsoir Mathilde,

La condition \(ad-bc=0\) doit aoir un rapport avec la dérivée de \(f\). Détermine cette dérivée \(f^,(x)\). Si \(f^,(x) = 0\) sachant que \(u_{n+1}=f(u_n)\), tu dois pouvoir conclure.

Bon courage

Merci pour votre aide.

Bonjour, Je reviens vers vous :

Par la suite dans l'exercice, ils me demandent que de monter que x= (ax+b)/(cx+d) est une équation qui est équivalente à une équation du seconde degré dont le discriminant = (d+a)²-4(ad-bc).

J'ai calculé ainsi :

ax+b = x(cx+d)
<=> ax+b-cx²-dx =0
<=> -cx² + x(a-d) +b = 0

Il s'avère que avec ceci le discriminant = (a-d)² - 4*-c*b = (a-d) + 4cb !
et cela ne correspond pas à ce qu'il me demande.

Juste pour vérifier, ai-je fait une erreur de calcul ou il y a t-il une ruse que je n'ai pas vu ?

Merci .

Bonjour,
vos calculs sont justes.
Maintenant il vous reste à développer (d+a)²-4(ad-bc).
et vous trouverez la solution à votre question.
Bon courage

Je reviens une fois de plus vers vous :

Voici ce que par la suite l'exercice me demande :

Interpréter graphiquement les solutions de l'équation
x=(ax+b)/(cx+d)

Mais comment faire sachant que a b c et d sont des nombres inconnus ?
De plus je n'arrive pas à tracer la courbe correspondante que ce soit sur Géogébra ou ma calculatrice.

Pouvez-vous m'aider ?
Merci.

Bonjour Mathilde,

Je pense qu'il suffit de dire que c'est l'intersection d'une droite (à préciser) et d'une courbe (à définir aussi).

Bonne continuation

Je ne vois pas comment les définir. Ce n'est pas très grave, Merci quand même .

J'ai prouvé dans une question, que x =(ax+b)/(cx+d) est équivalente à une équation du seconde degré dont le discriminant vaut (d+a)²-4(ad-bc)

Par la suite on me demande :

Étude des cas delta=0 et delta>0

a) On suppose que delta=0 et on note Y l'unique solution de l'équation.
Soit U0différentde y . On pose Vn= 1/Un-y
Montrer que (Vn) est définie et arithmétique de raison r=2c/a+d.

J'ai bien essayé de calculer Vn+1-Vn mais je n'aboutis à rien, il y a t-il une méthode ? Une fois que je la connaitrai je pourrai faire la même chose avec le cas ou delta>0 ( c'est la question d'après mais j'essayerais par la suite).

Merci de votre aide.

Bonsoir Mathilde,

Pour la droite et la courbe il te suffit de donner leur équation.

As-tu \(v_n=\frac{1}{u_n}-y\) ou \(v_n=\frac{1}{u_n-y}\) ?

A tout de suite

Très bien mais cela veut dire qu'il faut que je réduise l'expression de l'équation ?

As excusez-moi, j'ai Vn = 1/(UN-y).

Non, tu as deux fonctions \(f\) et \(g\) et leur courbes représentatives d'équations respectives \(y = f(x)\) et \(y = g(x)\) et tu dois chercher le point d'intersection à savoir résoudre l'équation \(f(x)=g(x)\).
Tu dois juste donner les équations des deux courbes celle du premier membre et celle du second membre.

Je regarde le calcul de \(v_{n+1}-v_n\) et essaie de te donner une piste.

A plus tard

Merci, j'ai compris.

D'accord, et merci encore.

Pour le calcul de \(v_{n+1}-v_n\) il faut utiliser le fait que \(u_{n+1}=\frac{au_n+b}{cu_n+d}\) réduire au même dénominateur, développer le numérateur et garder le dénominateur factoriser.
Ensuite comme \(cy^2+(d-a)y-b=0\) tu peux soustraire cette expression du numérateur, factoriser ce qui reste et simplifier la fraction.
Pense aussi que \(y=-\frac{d-a}{2c}=\frac{a-d}{2c}\), remplace \(y\) par cette valeur.

Bon courage pour tout ces calculs !

J'ai commencé mes calculs, je m'embrouilles un peu mais je vais y arriver.
Une question : Voici mon début de calcul :

1/[(Un+1)-y] - 1/(Un-y) = 1/[{(aUn+b)/(cUn+d)} -y] - 1/(Un-y)

A ce moment là j'ai mis y sur le même dénominateur c'est à dire sur cUn+d et ensuite j'ai enlevé l'inverse au niveau des deux membres. Ai-je bien fait ?

Bonsoir Mathilde,

Cela me semble bien, tu dois arriver à : \(\frac{cu_n^2+(d-a)u_n-b}{(au_n+b-y(cu_n+d))(u_n-y)}\)
Traite le numérateur comme je t'ai indiqué dans ma précédente réponse, tu dois pouvoir mettre \(u_n-y\) en facteur et simplifier la fraction.
Ensuite tu traites \((au_n+b-y(cu_n+d)\) en remplaçant \(y\) par sa valeur. Tu auras à utiliser aussi le fait que Delta est nul c'est à dire que \(4(ad-bc)=(a+d)^2\).
A la fin tu dois pouvoir mettre \(2c\) en facteur au numérateur et \(a+d\) en facteur au dénominateur et si tu n'as pas fait d'erreur tu peux simplifier et il ne reste que \(\frac{2c}{a+d}\).

Bon courage