Calcul d'aire par encadrement
Posté : mar. 30 oct. 2012 08:16
Bonjour,
J'ai du mal a faire un raisonnement par recurrence dans un exercice, l'enonce est le suivant :
Dans un repere on a la courbe representant la fonction f definie par f(x)=x^2
On souhaite determiner l'aire A de la partie du plan delimitee par l'axe (Ox), la courbe Cf, les droites d'equations x=0 et x=1.
On divise l'intervalle [0;1] en n intervalles egaux, on remarque que A est compris entre une aire Un et une aire Vn( il y a des figures pour illustrer mais je ne sais pas comment les decrire). Les points Bo, B1, B2,...,Bn de l'axe Ox ont pour abscisse 0,1/n,2/n,...,1. Les points C0,C1,...,Cn ont les memes abscisses que B0,B1,...
Dans une premiere question j'ai demontre que Un, l'aire obtenue en considerant la somme des aires des rectangles de largeur [BpBp+1] et de hauteur [BpCp] pour p variant de 0 a n-1 est egale a :
1/n * la somme pour p variant de 0 a n-1 de (p^2/n^2)
Maintenant, il faut montrer par recurrence que Un=((n-1)n(2n-1))/(6n^2)
Des l'initialisation , je suis bloquee. Si l'on remplace n par 1 dans ce que l'on doit demontrer, on trouve bien U1,
mais si l'on rempace n par 2, on trouve 1/4 or U2 n'est pas egal a 1/4. U2 = (1/2) * ((0^2/1^2)+(1^2/2^2)) ce qui donne 1/8 et non 1/4.
Pouvez vous m'aider? Merci
J'ai du mal a faire un raisonnement par recurrence dans un exercice, l'enonce est le suivant :
Dans un repere on a la courbe representant la fonction f definie par f(x)=x^2
On souhaite determiner l'aire A de la partie du plan delimitee par l'axe (Ox), la courbe Cf, les droites d'equations x=0 et x=1.
On divise l'intervalle [0;1] en n intervalles egaux, on remarque que A est compris entre une aire Un et une aire Vn( il y a des figures pour illustrer mais je ne sais pas comment les decrire). Les points Bo, B1, B2,...,Bn de l'axe Ox ont pour abscisse 0,1/n,2/n,...,1. Les points C0,C1,...,Cn ont les memes abscisses que B0,B1,...
Dans une premiere question j'ai demontre que Un, l'aire obtenue en considerant la somme des aires des rectangles de largeur [BpBp+1] et de hauteur [BpCp] pour p variant de 0 a n-1 est egale a :
1/n * la somme pour p variant de 0 a n-1 de (p^2/n^2)
Maintenant, il faut montrer par recurrence que Un=((n-1)n(2n-1))/(6n^2)
Des l'initialisation , je suis bloquee. Si l'on remplace n par 1 dans ce que l'on doit demontrer, on trouve bien U1,
mais si l'on rempace n par 2, on trouve 1/4 or U2 n'est pas egal a 1/4. U2 = (1/2) * ((0^2/1^2)+(1^2/2^2)) ce qui donne 1/8 et non 1/4.
Pouvez vous m'aider? Merci