La dérivée

[eleve86]

Bonjour,

J'ai un exercice à faire qui me pose des soucis. Cet exercice est :

On considère la fonction k définie sur ]0;4] par : k(x) = (racine carrée de (x(4-x))/x

1. Etudier la limite de la fonction K en 0.
2. Démontrer que la fonction k est derivable sur l'intervalle ]0;4[ et donner l'expression de sa dérivée k' sur cet intervalle.
3. La fonction k est-elle dérivable en 4?
4. Etudier les variations de k.

La question 1 je trouve une limite de +infini quand x>0 et quand x<0 il n'y a pas de limite.
La question 2 j'ai réussi à trouver la justification de l'intervalle mais la dérivée je n'y arrive pas car je me retrouve avec une double fraction en utilisant la formule de la dérivée de (u/v)' = (u'v-uv')/v^2.
Pour la question 3 je trouve qu'elle n'est pas derivable en 4 mais je n'arrive pas à le montrer avec la formule du taux d'accroissement : f(a+h)-f(a)/h

Merci d'avance.

[SoS-Math(4)]

Bonsoir

1) juste pour x>0. Pour x<0 la fonction n'est pas définie, donc on étudie pas la limite .
2)Le calcul est un peu long, il faut y aller par étape et utiliser la formule rac(u)'=u'/2rac(u) et aussi la formule (u/v)'=(u'v-uv')/v²

dans ton calcul tu seras amené à réduire au même dénominateur.

3) combien trouves tu lorsque tu calcules f(4+h)-f(4)/h ?

sosmath.

[eleve86]

Bonjour,

Alors pour la question 2 je trouve en suivant vos consignes : -2x/racine carrée(x(4-x)/x^2 sauf que je n'arrive pas à simplifier avec cette double fraction.

Merci d'avance.

[sos-math(20)]

Ton résultat de dérivée semble correct et tu peux l'écrire \(\frac{-2}{x\sqrt{x(4-x)}\).
Bonne soirée

SOS-math

[eleve86]

Bonsoir,

Pour le calcul : f(4+h)-f(4)/h je trouve : racine de (4h+h^2)/(4h+h^2) ce qui me donne une limite de -infini quand h tend vers 0. Est-ce que c'est juste?

Merci d'avance.

[sos-math(20)]

Bonsoir,

Je pense qu'il y a des fautes de signes dans les calculs sous la racine carrée.

Bon courage pour refaire ce calcul.

SOS-math

[eleve86]

Bonsoir,

J'ai refait le calcul et cela me donne exactement la même chose qu'avant.

Merci d'avance.

[sos-math(20)]

C'est dans le calcul de f(4+h) que tu fais une erreur, notamment dans le 4-x : fais bien attention au signe "-".
Essaie encore une fois en étant bien vigilant.

SOS-math

[eleve86]

bonsoir,

Merci je viens de trouver mon erreur grâce à vous. Mais la limite donne bien -infini?

merci d'avance

[sos-math(20)]

En fait ici il faut faire tendre h vers 0 mais avec h<0 du fait de l'ensemble de définition de la fonction.
La limite cherchée est \(+\infty\).

Bonne soirée.

SOS-math

[eleve86]

Bonsoir,

Pourquoi +infini alors que l'ensemble de definition exclu 0?

Merci d'avance.

[sos-math(20)]

C'est du côté de 4 qu'il faut regarder : on doit être avant 4 pour que la fonction existe donc 4+h avec h négatif.

Bonne soirée.

SOS-math

[sos-math(20)]

Tu peux aussi regarder la représentation graphique de la fonction à l'écran de ta calculatrice pour comprendre pourquoi vers 4 c'est\(+\infty\) et pas \(-\infty\).

A bientôt sur SOS-math

[eleve86]

Bonjour,

Si la fonction avait été que: (racine carrée de x(4-x)) définie sur ]0;4[ cela donnerait pour savoir si c'est derivable en 0 avec h>0 et cela donnerait comme limite -infini et en 4 avec h<0 cela donnerait -infini?
Et si la fonction était x*(racine carrée de x(4-x)) définie sur ]0;4[ cela donnerait en 4 avec h<0 une limite de +infini et en 0 avec h>0 la limite serait de -infini?

Merci d'avance.

[sos-math(20)]

Bonjour,

Si la fonction est définie sur [0;4] par \(f(x)=\sqrt{x(4-x)}\) alors :
D'une part en 0, \(\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt{4-h}}{\sqrt{h}}\), et quand h tend vers \(0^{+}\) on obtient pour limite