Les suites
Posté : jeu. 18 oct. 2012 16:36
Voilà je suis en Terminales ES et je bloque sur un exercice qui est le suivant :
La course d'Achille et le tortue
Situation
Le fougueux Achille court à une vitesse de 14 m/s, au moins comme le kényan Noah Ngeny. Et la tortue "court" à 0.25 km/s soit 0.07 m par seconde.
Achille par générosité, laisse la tortue partir à 700 m devant lui.
Action
Ils partent en même temps. Pour Zénon, lorqu'Achille arrive à l'endroit d'où est partie la tortue, la brave bête, pas impressionnée, a parcouru du chemin. Dès qu'Achille arrive à l'endroit où était la tortue, elle est plus loin ! Et ainsi de suite ! Achille n'en finit pas de parcourir du chemin pour rattraper la tortue, pendant, dixit Zénon, un temps infini, et ne peut la dépasser.
Modélisation
Soit \(\u_{n}\) la distance parcourue, en mètre, par Achille à l'étape n pour atteindre l'endroit où était la tortue .
Ainsi \(\u_{1}=700\)
a. Calculer la distance parcourue par la tortue pendant ce temps-là. En déduire \(\u_{2}\).
b. Exprimer, en fonction de \(\u_{n}\), la distance \(\u_{n+1}\) parcourue par la tortue pendant qu'Achille parcourt la distance \(\u_{n}\). En déduire la nature de la suite (\(\u_{n}\))
c. Exprimer en fonction de n la somme des distances parcourues par Achille :
\(\s_{n}\)=\(\u_{1}\)+\(\u_{2}\)+ ... +\(\u_{n}\)
d. Déterminer la limites de (\(\u_{n}\).
Conclusion
Interpréter le résultat.
Quelle est la "faille" dans le paradoxe de Zénon ?
La course d'Achille et le tortue
Situation
Le fougueux Achille court à une vitesse de 14 m/s, au moins comme le kényan Noah Ngeny. Et la tortue "court" à 0.25 km/s soit 0.07 m par seconde.
Achille par générosité, laisse la tortue partir à 700 m devant lui.
Action
Ils partent en même temps. Pour Zénon, lorqu'Achille arrive à l'endroit d'où est partie la tortue, la brave bête, pas impressionnée, a parcouru du chemin. Dès qu'Achille arrive à l'endroit où était la tortue, elle est plus loin ! Et ainsi de suite ! Achille n'en finit pas de parcourir du chemin pour rattraper la tortue, pendant, dixit Zénon, un temps infini, et ne peut la dépasser.
Modélisation
Soit \(\u_{n}\) la distance parcourue, en mètre, par Achille à l'étape n pour atteindre l'endroit où était la tortue .
Ainsi \(\u_{1}=700\)
a. Calculer la distance parcourue par la tortue pendant ce temps-là. En déduire \(\u_{2}\).
b. Exprimer, en fonction de \(\u_{n}\), la distance \(\u_{n+1}\) parcourue par la tortue pendant qu'Achille parcourt la distance \(\u_{n}\). En déduire la nature de la suite (\(\u_{n}\))
c. Exprimer en fonction de n la somme des distances parcourues par Achille :
\(\s_{n}\)=\(\u_{1}\)+\(\u_{2}\)+ ... +\(\u_{n}\)
d. Déterminer la limites de (\(\u_{n}\).
Conclusion
Interpréter le résultat.
Quelle est la "faille" dans le paradoxe de Zénon ?