SOS-MATH

Je cherche à démontrer que toute suite qui converge vers 1 est strictement positive à partir d'un certain rang.

Je ne sais pas comment m'y prendre ...

Je sais que si une suite converge vers 1 cela veut dire que tous les termes de suite sont dans l'intervalle noté I = ]1-E, 1+E[ .

Bonjour Mathilde,

Oui, tu as commencé ton exercice.

Reprenons ta dernière phrase :

<<Je sais que si une suite converge vers 1 cela veut dire que tous les termes de suite sont dans l'intervalle noté I = ]1-E, 1+E[ .>>

C'est exact, mais il faut compléter cette affirmation par : "à partir d'un certain rang".

Or, tu peux choisir par exemple : \(\epsilon = \frac{1}{2}\) ; par conséquent \(1- \epsilon = \frac{1}{2}>0\).

Bonne continuation.

Pourquoi prendre E = 1/2 ?

Bonsoir,
Dire qu'une suite converge vers 1 signifie que pour tout réel \(\epsilon>0\), aussi petit qu'on veut, on pourra toujours trouver des termes de la suite qui sont à une distance de 1 inférieure à \(\epsilon\) donc dans l'intervalle \(]1-\epsilon\,;\,1+\epsilon[\): on s'approche de 1 avec des termes de la suite aussi près que l'on veut.
En particulier si on choisit \(\epsilon=\frac{1}{2}\), il existe donc un rang \(n_0\), tel que pour tout \(n\geq n_0\), \(u_n\in]1-\frac{1}{2}\,;\,1+\frac{1}{2}[\) donc en particulier \(u_n\geq\frac{1}{2}>0\)
Est-ce plus clair ?