SOS-MATH

on considère la suite (Un) définie par Uo = U1 = 1 , et pour tout entier n supérieur ou égal à 2 :
Un= Un-1+Un-2
on pose
(phi) = 1+sqrt(5) / 2
1.Vérifiez que (phi)^2 = (phi) +1
2.En déduire une expression de (phi)^3 , (phi)^4 ,(phi)^5 de la forme a(phi)+b , avec a et b deux entiers .
3. déduire des deux questions précédentes : une conjecture sur l'expression de (phi)^n sous la forme a(phi) + b
Démontrez alors que cette conjecture avec n entier naturel quelconque.

aide : cette conjecture doit utiliser la définition par récurrence de la suite (Un)

Mes réponses :
1. ( 1+sqrt(5)/2)^2 = 1+2sqrt(5)+5/4 = 3+sqrt(5)/2
(phi)+1= 1+sqrt(5)/2 + 1 = 2/2 + 1+sqrt(5)/2 = 3+sqrt(5)/2

2. pour cette question j'ai reussi a déduires les expressions : je trouve
(phi)^3= 2(phi) +1
(phi)^4 = 3(phi) +2
(phi)^5 = 5(phi) +3

et je n'arrive pas du tout à faire une conjecture ...

BONJOUR Lu,

Tes calculs sont justes... Regarde bien le début de ton exercice, il y a une donnée qu'il faut maintenant utiliser.

Bon courage !

pourriez vous me mettre un peu plus sur la voie svp ? :/ car j'ai demandé à mon prof de soutient de m'aider mais il n'a pas trouvé de conjecture ... je suis vraiment bloquée

Tu n'as pas encore utilisé la suite Un ... Calcule U2 U3 U4 pour voir...

Bonjour,

Je te propose pour avancer dans ta conjecture de calculer \(\varphi^6\) et \(\varphi^7\).
Écris toutes tes réponses les unes sous les autres et regarde de plus près...

Bonne recherche.