nombre d'or et fibonacci

[eleve19]

on considère la suite (Un) définie par Uo = U1 = 1 , et pour tout entier n supérieur ou égal à 2 :
Un= Un-1+Un-2
on pose
(phi) = 1+sqrt(5) / 2
1.Vérifiez que (phi)^2 = (phi) +1
2.En déduire une expression de (phi)^3 , (phi)^4 ,(phi)^5 de la forme a(phi)+b , avec a et b deux entiers .
3. déduire des deux questions précédentes : une conjecture sur l'expression de (phi)^n sous la forme a(phi) + b
Démontrez alors que cette conjecture avec n entier naturel quelconque.

aide : cette conjecture doit utiliser la définition par récurrence de la suite (Un)

Mes réponses :
1. ( 1+sqrt(5)/2)^2 = 1+2sqrt(5)+5/4 = 3+sqrt(5)/2
(phi)+1= 1+sqrt(5)/2 + 1 = 2/2 + 1+sqrt(5)/2 = 3+sqrt(5)/2

2. pour cette question j'ai reussi a déduires les expressions : je trouve
(phi)^3= 2(phi) +1
(phi)^4 = 3(phi) +2
(phi)^5 = 5(phi) +3

et je n'arrive pas du tout à faire une conjecture ...

[SoS-Math(25)]

BONJOUR Lu,

Tes calculs sont justes... Regarde bien le début de ton exercice, il y a une donnée qu'il faut maintenant utiliser.

Bon courage !

[eleve19]

pourriez vous me mettre un peu plus sur la voie svp ? :/ car j'ai demandé à mon prof de soutient de m'aider mais il n'a pas trouvé de conjecture ... je suis vraiment bloquée

[SoS-Math(25)]

Tu n'as pas encore utilisé la suite Un ... Calcule U2 U3 U4 pour voir...

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Je te propose pour avancer dans ta conjecture de calculer \(\varphi^6\) et \(\varphi^7\).
Écris toutes tes réponses les unes sous les autres et regarde de plus près...

Bonne recherche.