raisonnement apr récurrence
Posté : mar. 30 sept. 2008 17:38
Bonsoir,
Voilà comment je conçois l'axiome du raisonnement par récurence :
OBJECTIF : montrer qu'une proposition Pn est vraie pour tout nombre entier positif
ETAPE 1 : je montre que P0 est vraie (c'est-à-dire que Pn est vraie pour n=0)
ETAPE 2 : soit n un entier QUELCONQUE donné vérifiant Pn (c'est-à-dire tel que Pn est Vraie).
Je montre alors que Pn+1 est vraie.
CONCLUSION : pour tout entier n, Pn est vraie.
J'ai trouvé dans le cours d'un camarade, la formulation suivante concernant l'ETAPE 2 :
Supposons qu'il existe un entier n tel que Pn est vraie et montrons que Pn+1 est vraie.
Pour moi, cette formulation n'est pas juste : il s'agit de montrer que Pn implique Pn+1 pour TOUT entier n tel que Pn est vraie et en plus le problème de l'existence est règlé par l'ETAPE 1.
Nous n'arrivons pas à nous mettre d'accord: pourriez-vous nous dire laquelle des deux versions est bonne (ou si elles sont éventuellement bonnes toutes les deux)
MERCI BEAUCOUP
Cédric
Voilà comment je conçois l'axiome du raisonnement par récurence :
OBJECTIF : montrer qu'une proposition Pn est vraie pour tout nombre entier positif
ETAPE 1 : je montre que P0 est vraie (c'est-à-dire que Pn est vraie pour n=0)
ETAPE 2 : soit n un entier QUELCONQUE donné vérifiant Pn (c'est-à-dire tel que Pn est Vraie).
Je montre alors que Pn+1 est vraie.
CONCLUSION : pour tout entier n, Pn est vraie.
J'ai trouvé dans le cours d'un camarade, la formulation suivante concernant l'ETAPE 2 :
Supposons qu'il existe un entier n tel que Pn est vraie et montrons que Pn+1 est vraie.
Pour moi, cette formulation n'est pas juste : il s'agit de montrer que Pn implique Pn+1 pour TOUT entier n tel que Pn est vraie et en plus le problème de l'existence est règlé par l'ETAPE 1.
Nous n'arrivons pas à nous mettre d'accord: pourriez-vous nous dire laquelle des deux versions est bonne (ou si elles sont éventuellement bonnes toutes les deux)
MERCI BEAUCOUP
Cédric