SOS-MATH

je n'arrive pas à faire la question 2 si quelqu'un peut m'aider ?

1 ) on cherche à calculer par un moyen simple la somme des n premiers nombres impairs
A ) calculer cette somme pour n=1 à n= 5 ?que peut on conjecturer ?
b ) exprimer en fonction de p le pième nombre impair
c ) démontrer la conjecture en utilisant un raisonnement par récurrence

2 ) soit x un nombre quelconque
a) démontrer par récurrence que quel que soit n supérieur à 1 on a
x^n-1 = (x-1) somme x^P

AVEC x^(P+1)-1 = x^(P+1)-x^P+x^P-1
B) en déduire une factorisation de a^n-b^n OU a et b sont des rééls
on pourra utiliser l'égalité du a avec a/ b =

je suis larguée mais voilà ce que j'ai fait

on va montrer par récurrence que la somme des n premiers entiers impairs est égale au carré de n
1+3+......+ (2n-1) = n^2

pour n=1 propriété vérifiée

pour rang 1+3+5+.......+ (2n-1)=n^2

l'entier impaire qui suit est 2n-1 est 2n+1 on a donc
1+3+......+(2n-1)(2n+1) = n^2 +2n+1 = (n+1)^2
la propriété est donc hérédiataire

Bonjour,
sur ce forum on aime que les personnes se présentent...

Vous avez bien commencer votre travail :

on va montrer par récurrence que la somme des n premiers entiers impairs est égale au carré de n
1+3+......+ (2n-1) = n^2
l'entier impaire qui suit est 2n-1 est 2n+1 on a donc
1+3+......+(2n-1)(2n+1) = n^2 +2n+1 = (n+1)^2
la propriété est donc hérédiataire

Vous avez donc démontré par récurrence que quelque soit \(n\geq1\), 1+3+...+(2n-1)=n^2

Pour la question 2) vous devez montrer que \(x^n-1=\sum_{p=0}^{n-1}x^p\) pour cela, après la vérification au rang 2, on regarde le rang (n+1).
\(x^{n+1}-1=x^{n+1}-x^n+x^n-1\) Pour réussir, il faut factoriser x^n dans les deux premiers termes de l'égalité et utiliser l'hypothèse de récurrence pour les deux derniers termes.

Bon travail

SOS Math

pardon pour la non présentation ,j'ai fait un copier coller de mon document et du coups le bonjour est passé à la trappe

je n'y arrive pas
au rang 2 on a bien (2)^1 -1 = 1 ?

et au rang p+1 on a x^n+1 -1 = X^n+1 - x^n +X^n -1
= x^n*x-x^n+X^n -1
= x^n ( x-1) +X^n -1
mais après je ne sais pas comment utiliser la récurrence
il faut montrer que x^n-1 = (x-1) somme x^P
merci

Bonsoir,
Le message de sos math(7) est très clair.
Lorsque l'on veut démontrer l'hérédité d'une récurrence, il faut utiliser ce qui se passe au rang p pour le démontrer au rang p+1.

Vous pouvez revoir la forme des récurrences de votre cours.

Bon courage
sos math