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suite maths spé.
Posté : lun. 16 janv. 2012 18:24
par eleve87
Bonsoir, je dois démontrez par récurrence que pour tout n appartient aux entiers naturels, Un appartient a [3/8;1/2]
mais je n'ai jamais travailler sur un intervalle pour une récurrence. Ma fonction est Un+1=f(Un) f(x)=1.6X *(1-X)
compris entre [o;1]. J'aurais voulu de l'aide pour savoir comment m'y prendre, merci d'avance pour les réponses qui pourront être faites.
Re: suite maths spé.
Posté : lun. 16 janv. 2012 19:50
par sos-math(22)
Bonsoir,
Tout d'abord, il manque \(u_0\) dans ta définition.
Peut-être as-tu \(u_0=\frac{3}{8\) ?
En tout cas, tu dois avoir \(u_0\in[\frac{3}{8};\frac{1}{2}]\)
Ensuite, tu procèdes comme pour tous les raisonnements par récurrence :
1° étape Initialisation.
2° étape Hérédité.
Conclusion.
Je t'aide pour l'hérédité.
Comme f est une fonction trinôme ayant pour racines \(0\) et \(1\) avec un coefficient dominant négatif (\(a=-1.6<0\)), elle est croissante sur l'intervalle \([0;\frac{1}{2}]\), puis décroissante sur \([\frac{1}{2};1]\).
En particulier, elle est croissante sur l'intervalle \([\frac{3}{8};\frac{1}{2}]\).
De plus, tu remarqueras que :
\(f(\frac{3}{8})=\frac{16}{10} \times \frac{3}{8} \times \frac{5}{8}=\frac{3}{8}\) puis que \(f(\frac{1}{2})=\frac{16}{10} \times (\frac{1}{2})^2=\frac{2}{5}=0,4<0,5\).
Tu pourras en déduire que si \(x\in[\frac{3}{8};\frac{1}{2}]\) alors \(f(x)\in[\frac{3}{8};\frac{1}{2}]\).
Cette implication te sera précieuse pour réaliser l'étape "hérédité".
Bonne continuation.