Bonsoir ! Je n'arrive pas à une question dans mon DM de maths.
Voila l'énoncé : On considère la fonction f définie sur [0;+\(\infty\)[ par : f(x)= \(e^{-\frac{1}{x}}\), et f(0)=0; pour x>0. Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.
J'ai essayé d'utiliser la formule : f est dérivable en 0 si lim (f(x)- f(0))/x-0 = f'(0), ce qui fait lim \(\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x}\) quand x tend vers 0.
Mais la je bloque ... je ne sais pas comment montrer que f est dérivable, ni comment montrer sa dérivabilité.
Merci de me guider.
limites
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sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: limites
Bonjour,
comme \(\lim_{x\to 0}\frac{-1}{x}=-\infty\), on a par composition \(\lim_{x\to 0} e^{\frac{-1}{x}}=0=f(0)\) donc f est continue en 0 car la limite en 0 est égale à l'image de f en 0.
pour la dérivabilité tu es bien partie : je te propose un petit changement de variable en posant \(X=\frac{1}{x}\) donc lorsque x tend vers 0, X tend ver + l'infini :
on a alors \(\lim_{x\to 0} \frac{e^{\frac{-1}{x}}}{x}=\lim_{X\to +\infty}Xe^{-X}=lim_{X\to +\infty}\frac{X}{e^{X}}=0\) (croissance comparée exponentielle/puissance en l'infini : l'exponentielle est plus forte que la puissance en l'infini) donc la limite du taux d'accroissement existe et f est dérivable en 0.
comme \(\lim_{x\to 0}\frac{-1}{x}=-\infty\), on a par composition \(\lim_{x\to 0} e^{\frac{-1}{x}}=0=f(0)\) donc f est continue en 0 car la limite en 0 est égale à l'image de f en 0.
pour la dérivabilité tu es bien partie : je te propose un petit changement de variable en posant \(X=\frac{1}{x}\) donc lorsque x tend vers 0, X tend ver + l'infini :
on a alors \(\lim_{x\to 0} \frac{e^{\frac{-1}{x}}}{x}=\lim_{X\to +\infty}Xe^{-X}=lim_{X\to +\infty}\frac{X}{e^{X}}=0\) (croissance comparée exponentielle/puissance en l'infini : l'exponentielle est plus forte que la puissance en l'infini) donc la limite du taux d'accroissement existe et f est dérivable en 0.