limites et exponentielles

[Cindy]

Bonsoir. Toujours dans mon DM.

Il faut calculer la limite de \(\frac{e^{2x+2} - e^{2}}{x}\) quand x tend vers 0.

J'ai essayé de factoriser : lim \(\frac{e^{2}(e^{x}+1)(e^{x}-1)}{x}\).

En utilisant la limite de référence : lim \(\frac{e^{x}-1}{x}\) quand x tend vers 0, cela fait \(e^{2}(e^{x}+1) * 1\) quand x tend vers 0.

Cela me parait bizarre car a la fin cela fait : lim 2e² ...

Merci de me rectifier et de me dire où est ma faute.

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Cindy,

ton idée est bonne et ton résultat est presque juste !

\(\frac{e^{2}(e^{x}+1)(e^{x}-1)}{x}\) = \(e^{2}(e^{x}+1)\)\(\frac{e^{x}-1}{x}\).

et \(\lim_{x \to 0}e^{2}(e^{x}+1)=...\)
et \(\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1\)

d'où le résultat 2e² ...

SoSMath.

[Cindy]

Mais quelle est alors la limite de 2e² ?

[SoS-Math(9)]

Cindy,

Il n'y a pas de limite à 2e² ... c'est le résultat !
(2e² est environ égal à 14,8)

SoSMath.

[Cindy]

Je ne comprends pas ... comment lim \(e^{2}(e^{x}+1)\frac{(e^{x}-1)}{x}\) quand x tend vers 0, peut être égale a 2e², cela devrait être lim 2e², et non le résultat...

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Une limite est un nombre : lorsque x tend vers 0, les éléments qui contiennent du x se rapproche d'une certaine valeur numérique (sans x) donc à la fin on a un nombre seul et c'est ce nombre la limite.

[Cindy]

Ahhhh, en relisant mon travail, je crois avoir compris. Je pense que j'avais mal compris que la limite d'un nombre sans x, est ce même nombre. Vu qu'a la fin il n'y a plus de x, j'avais du mal à comprendre. Merci

[sos-math(21)]

En effet, pour un nombre donné \(a\), la limite de \(a\) quand \(x\) tend vers \(x_0\) est encore a : \(\lim_{x\to x_0}a=a\).
Bon courage pour la suite