SOS-MATH

Bonjour, j'ai un exercice que j'ai du mal à le faire, si quelqu'un aurait l'amabilité de m'aider, ce serait gentil!
Pour tout entier \(n \geq 1\), on définit \(f_{n}\) : [0; 1] → IR, x → \(x + x^{2} + ... + x^{n}.\)
1. Soit un entier \(n\geq\) 1[/tex] fixé.
(a) Démontrer que pour tout x ∈ [0; 1[, \(f(x) = x\frac{1 - x^{n}}{1 - x}\). En déduire \(f_{n}(\frac{1}{2}\)) < 1.
(b) Exprimer \(f_{n}(1)\) en fonction de\(n\).
(c) Dresser le tableau de variations de\(f_{n}\).
(d) Démontrer que l’équation \(f_{n}(x) = 1\) admet une solution unique, notée \(x_{n}\) et que \(\frac{1}{2} < x_{n} < 1\).
2. Convergence de la suite \((x_{n})_{n\geq1}\).
(a) Démontrer que pour tout entier \(n \geq 1\) et tout x ∈ [0; 1] \(f_{n+1}(x) = x(1 + f_{n}(x))\).
(b) En déduire que pour tout entier \(n \geq 1\), \(f_{n+1}(x_{n+1}) < f_{n+1}(x_{n})\) et conclure quant aux
variations de \((x_{n})\).
(c) Démontrer que la suite \((x_{n})\) est convergente vers une limite ℓ.
3. Limite de la suite \((x_{n})_{n\geq1}\). Soit un entier \(n \geq 1\).
(a) Calculer \(x_{1}\) et \(x_{2}\). Démontrer que n\(\geq\) 1, \(0 \leq x_{n}^{n} \leq x_{2}^{n}\). En déduire \(\lim_{n \to +\infty}x_{n}^{n}\)
(b) Pourquoi a-t-on \(\frac{x_{n}(1 - x^{n}_{n})}{1 - x_{n}}= 1\). En déduire ℓ/(1 − ℓ)= 1 puis la valeur de ℓ.

1)a) Puisque c'est une somme de terme d'une suite géométrique de raison \(x\) et de premier terme\(x^{1}\) donc \(f_{n}(x)=x\frac{1-x^{n}}{1-x}\). Puis on en déduit \(f_{n}(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\frac{1-\frac{1}{2^{n}}}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^{n}}<1\) donc \(f_{n}(\frac{1}{2})<1\)
b)\(f_{n}(1)=n\)
c)\(f_{n}(x)\)\(\geq 0\) donc \(f_{n}(x)\)est croissante.
d) Je n'ai pas compris!
2)a)\(f_{n+1}(x)=x+x^{2}+...+x^{n}+x^{n+1}=x(1+x+x^{2}+...+x^{n})=x(1+f_{n}(x))\)
b) Je n'ai pas compris!
c) Idem
3)a)\(f_{1}(x_{1})=1\) donc \(x_{1}=1\) et \(f_{2}(x_{2})=1 <=> x_{2}+x^{2}=1 <=> x_{2}+x^{2}+1=0\) delta>0 donc deux solutions \(x_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\)<0 et \(x_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)>0 donc \(x_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\) mais pour la suite je bloque!
Est-ce bon ce que j'ai fait!
Merci de votre aide!

Bonjour Baptiste,

1)a) ok
b)ok
c) faux , il faut utiliser la dérivée;
d) utiliser le résultat précédent et le théorème des valeurs intermédiaires( ou théorème de la bijection)
2) a) ok
b)Utilise a) et fn(xn)=1 et l'égalité équivalente en remplaçant n par n+1.
puis pour le sens de variation de xn surement en utilisant le sens de variation de la fonction f(n+1).
c) avec un théorème du type toute suite croissante et majorée est convergente.
3) on verra après

sosmaths

1)c) Je bloque!
d)\(f_{n}\) est strictement croissante et continue quelque soit \(x_{n}\) tel que \(f_{n}(x_{n})=1\) et puisque \(f_{n}(1/2)<1\) alors on a \(1/2<x_{n}<1\) Donc l'équation \(f_{n}(x)=1\) admet une solution unique \(x_{n}\) !
2)b) \(f_{n+1}(x_{n+1})=1\) et \(f_{n+1}(x_{n})=x_{n}(1+f_{n}(x_{n}))=2x_{n}\)
\(1/2<x_{n}<1\)<=> \(1<f_{n+1}(x_{n})<2\) donc \(f_{n+1}(x_{n+1})<f_{n+1}(x_{n})\) après je bloque !
c) \((x_{n})\)est strictement décroissante et minoré donc \((x_{n})\) est convergente!
3)a)\(f_{1}(x_{1})=1\) donc \(x_{1}=1\) et \(f_{2}(x_{2})=1 <=> x_{2}+x^{2}=1 <=> x_{2}+x^{2}+1=0\) delta>0 donc deux solutions \(x_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\)<0 et \(x_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)>0 donc \(x_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\) mais pour la suite je bloque!

1)c) il faut que tu calcules la dérivée en utilisant les formules de dérivée de produit, dérivée de quotient.
d) Ok , mais la rédaction est à revoir et il faut pas oublier de mentionner que fn(1)>1;
2)b) si x(n+1)>x(n) alors \(f_{n+1}(x_{n+1})>f_{n+1}(x_n)\) puis que f est croissante sur [0;1]
Or ce n'est pas le cas , ce qui prouve que \(x_{n+1} \leq x_n\)donc la suite xn est décroissante;
c) oui, il faut dire minorée par quoi ?

3) a) utilise le fait que la fonction qui à x fait correspondre x^n est croissante sur [0;1], puis ensuite théorème des gendarmes.
bon courage.
sosmaths

Bonjour,
1)c) Je n'y arrive pas lorsque je dérive, je trouve un truc bizarre!
d)\(f_{n}\) est strictement croissante et continue quelque soit \(x_{n}\) tel que \(f_{n}(x_{n})=1\) et puisque \(f_{n}(1/2)<1\) et \(f_{n}(1)>1\) alors on a \(1/2<x_{n}<1\) Donc l'équation \(f_{n}(x)=1\) admet une solution unique \(x_{n}\) !
2)b) \(f_{n+1}(x_{n+1})=1\) et \(f_{n+1}(x_{n})=x_{n}(1+f_{n}(x_{n}))=2x_{n}\)
\(1/2<x_{n}<1\)<=> \(1<f_{n+1}(x_{n})<2\) donc \(f_{n+1}(x_{n+1})<f_{n+1}(x_{n})\) après je bloque !
c) \((x_{n})\)est strictement décroissante et minoré car \([tex]\)\frac{1}{2}<x_{n} donc \((x_{n})\) est convergente!
3)a)\(f_{1}(x_{1})=1\) donc \(x_{1}=1\) et \(f_{2}(x_{2})=1 <=> x_{2}+x^{2}=1 <=> x_{2}+x^{2}+1=0\) delta>0 donc deux solutions \(X_{1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\)<0 et \(X_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)>0 donc \(x_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)
\(\frac{1}{2}<x_{n}<1<x_{2}\)<=>\(\frac{1}{2}<x_{n}<x_{2}\)<=>\(\frac{1}{2^{n}}<x^{n}_{n}<1<x^{n}_{2}\)
D'après le théorème des gendarmes,\(\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{2^{n}}=\lim_{n \to +\infty}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})^{n}=0\)donc \(\lim_{n \to +\infty}x_{n}^{n}=0\)
b) On remplace \(x\) par \(x_{n}\) \(f_{n}(x)=1\): \(f_{n}(x_{n})=1\)<=> \(\frac{x_{n}(1-x_{n}^{n}}{1-x_{n}}=1\)
précédemment on a vu que \(\lim_{n \to +\infty}x_{n}}=l\) et \(\lim_{n \to +\infty}x_{n}^{n}}=0\) donc \(\lim_{n \to +\infty}\frac{x_{n}(1-x_{n}^{n})}{1-x_{n}}=1\)<=>\(\frac{l}{1-l}=1\)<=> \(l=\frac{1}{2}\)

Bonjour Baptiste,

Pour la dérivée tu dois trouver : (x^n(nx-n-1)+1)/((x-1)²

2)b) corrigé dans le message précédent; c'est un raisonnement par l'absurde.

le reste est bien, soigne ta rédaction, c'est un élément important du devoir.

sosmaths