Equation Différentielle a résoudre

[Marianne]

Bonjour à tous !

Un exercice type bac nous a été donné afin que nous puission approfondir nos connaissance sur le sujet.
J'ai commencé cette exercice Lundi mais je ne l'ai toujours pas fini ! Je bloque a la dernière question ...
Voilà pourquoi je sollicite votre aide , afin d'éventuellement corriger mes erreur de rédaction ou de calcul/méthode et afin de m'aider a boucler cette exos.

1) On se propose de résoudre l'équation différentielle (E) : y' + y = x + 1 , y étant une fonction de la variable réelle x et y' sa dérivée.

a) MA RÉPONSE : on a y'=z'+1 ( en dérivant ) , or y' = -y + x + 1

z' = -y+ x + 1 - 1

soit :

z' = -(y- x )

et comme y-x = z on obtient :

z' = -z


a) On pose z=y-x ; écrivez l'équation différentielle (F) satisfait par z.

b) Résolvez (F), puis (E).

(F) : z' = -z forme y' = ay avec a = -1
les fonctions solution sont :
x→ke-x , k є IR
Sachant y = z+x , les fonctions solution de (E) sont :
x→ke-x+x , k є IR

2) On appelle fα la solution de (E) telle que fα (0) = α

a) Démontrez que, pour tout α , la tangente à Cα au point d'abscisse -1 passe par l'origine du repère.

fα(0)=α
fα solution de (E) <=> fα(x) = ke-x+x
fα(x) = αe-x+x
tangente au point d'abscisse (a)
y = f'(a) (x-a) + fα(a)
y = fα(-1) (x+1)+fα(-1)
or f'(x) = αe-x+1 ; f'α(-1) = αe+1 ; fα(-1) = αe-1
donc y = (-αe+1) (x+1)+αe-1
y = -αxe-αe+x+1+αe-1
y = (-αe+1)x forme y = ax , a є IR
C'est une droite passant par l'origine.

b) Plus généralement, démontrez que toutes les tangentes aux courbes Cα en un point d'abscisse x0 donnée se coupent sur C0.

JE SUIS BLOQUEE A CETTE QUESTION ^^

Merci a vous !

[SoS-Math(4)]

Bonjour Marianne,

Ce que tu as fait semble bien.

Il y a quand même un problème à la question 2;

2) On appelle fα la solution de (E) telle que fα (0) = α

or si on considère une solution quelconque de (E), fk(x)=ke^(-x)+x, et si on calcule fk(0)=k
donc cette égalité est vraie pour tout k. donc alpha est quelconque;

dans la suite je vais utiliser k plutôt que alpha.
Pour répondre à la question , tu vas devoir chercher l'équation de la tangente à la courbe Ck, au point d'abscisse x0.
L'équation de cette tangente est : y=fk'(x0)(x-x0)+fk(x0);

je te laisse continuer ce calcul.
Après tu cherches l'intersection de deux tangentes, correspondant à deux valeurs de k, par exemple k=0 et k=1.
Ensuite, il faut montrer que le point d'intersection trouvé est commun à toutes les tangentes.
bon courage

sosmaths