complexe

[Luc]

Bonsoir,
j'ai un petit souci sur l'exo suivant:
Soit θ appartenant à ]0;pi[ et z1=1+cos(θ)-isin(θ) et z2=1- cos (θ)+isin(θ)
Déterminer le module et l'argument de z1*z2 et z1/z2

J'ai pensé:
z1*z2=(1+exp(-iθ))(1-esp(iθ))=-2sin(θ) mais à partir de là comment procéder?
Suis je sur la bonne voie?

Merci d'avance et bonnes fetes de fin d'année :)

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Luc,

Je pense que tu as intérêt à garder les formule données et de développer tout simplement pour le produit. Tu arrive à une expression dans laquelle tu peux mettre \(2sin(\theta)\) en facteur. Tu peux alors trouver facilement le module en fonction de \(\theta\).
Tu dois utiliser les formules : \(cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=sin(\theta)\) et \(sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=cos(\theta)\) pour trouver l'argument.

Pour le quotient multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\bar z_2\), après simplification il te reste un complexe imaginaire pur (partie réelle nulle) , tu peux en déduire son argument, attention la partie imaginaire est toujours négative) et son module.

Bonne continuation

[Luc]

Bonjour,
je suis un peu perdu:
z1*z2=(1+cosθ -isinθ)(1-cosθ+isinθ)=2isinθcosθ
Je ne sais pas si c'est correct mais bon.
Merci d'avance et bonne journée

[SoS-Math(11)]

Bonjour Luc,

Tu as oublié des termes en développant, il doit te rester des \(sin^2(\theta)\) en plus.

Bonne continuation

[Luc]

Re bonjour, je pense avoir compris:
je vous mets mon calcul complet :
z1*z2=(1+cosθ -isinθ)(1-cosθ+isinθ)
=1-cosθ +isinθ +cos(θ)-cos²θ+cos(θ)*isin(θ) -isinθ +isinθ*cos(θ)+sin²(θ)
=1-cos²θ+sin²θ+2cos(θ)*isin(θ)
=2sin²θ+2cos(θ)*isin(θ)
=2sinθ(sinθ +icos(θ)

pour le module :
c'est 2sinθ car positif pour θ appartenant à ]O,pi[

ensuite pour l'argument:
sinθ +icosθ = cos(pi/2 -θ) + i sin (pi/2 - θ)=exp(pi/2 -θ)
donc arg (z1*z2)=pi/2 -θ

Cela vous semble t il juste ?
Merci d'avance :)

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Cela me paraît tout à fait correct, il ne reste plus que le quotient.

Bon courage

[Luc]

Bonjour,
j'ai trouvé ce que vous m'avez dit.
j'obtiens z1/z2= -isin(θ)/(cos(θ)+1)
Pour l"argument j'ai penser à 3pi/2 modulo 2pi
et pour le module : sin²(θ)/(cos(θ)+1)²
qu'en pensez vous?

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

OK, j'avais trouvé une expression de ce type, mais le module est la racine carrée de ton expression (fais attention \(\sqrt{x^2}=|x|\)).

Bonne fin d'exercice

[Luc]

Merci bien pour votre aide.
Sinon pour l"argument cela vous semble t il correct?
Cordialement

[sos-math(20)]

Bonjour Luc,

Votre réponse semble correcte.

Bonne fin de journée.

SOS-math