SOS-MATH

Bonjour, je n'arrive pas à faire un exercice, si quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider, ça serait bien!

Soit λ ∈]0; +∞[ . On recherche les solutions \(y\) définies sur [0; +∞[ et qui ne s’annulent pas de l’équation différentielle \((E)\) : y′ = λ (1 − y)y
1. Pour tout \(t\) ∈ [0; +∞[, on pose \(z(t) =\frac{1}{y(t)}\). Montrer que z est solution de z′ + λ z = λ si et seulement si \(y\) est solution de \((E)\).
2. En déduire l’ensemble des solutions de \((E)\)

Je ne comprends pas comment faire!
Merci d'avance!

Bonjour, Le but de ce forum est de vous aider à trouver la solution, mais pas de faire le travail à votre place. Veuillez reformuler votre demande en expliquant ce que vous avez déjà fait. A bientôt sur SoS-Math.

Bonjour,
Je ne sais pas comment faire pour commencer, j'aimerais vous dire ce que j'ai fait mais la 1ère question me pose problème pour faire la suite!

Bonjour,

Tu suppose z solution de z'+lamda z= lamda

Tu calcules z' en fonction de y et y'. Puis tu remplaces dans l'équation différentielle ci dessus. Après calcul tu dois trouver que y est solution de (E).

Ensuite tu fais la réciproque.

sosmaths

Bonjour,
Je ne vois pas comment faire! Quand je le fais, je ne trouve pas!

ecris moi tes calculs, svp.

sosmaths

\(z^{,}=\frac{1}{y^{,}}\)<=>\(z^{,}=\frac{1}{ lambda (1 - y)y}\)
On le remplace dans l'équation différentielle:
z′ + λ z = λ <=> \(\frac{1}{ lambda (1 - y)y}+lambda\frac{1}{y}=\frac{1+lambda(lambda(1-y))}{ lambda (1 - y)y}\)
Mais après je bloque!

tu te trompes. z=1/y donc z'=-y'/y² ( voir formule dans le cours)

refais donc tes calculs, ça ira mieux.

sosmaths

\(z^{,}=\frac{1}{y^{,}}\)<=>\(z^{,}=\frac{-y^{,}}{ y^{2}}=\frac{-(lambda(1-y))}{ y^{2}}\)

z′ + λ z = λ <=> \(\frac{-(lambda(1-y)y)}{ y^{2}}+lambda\frac{1}{y}=\frac{-(lambda(1-y)y)}{ y^{2}}+lambda\frac{y}{y^{2}}\)
<=> \(\frac{lambda(-(1-y)y-y)}{ y^{2}}=\frac{lambda(-y+y^{2}+y)}{ y^{2}}=\frac{lambda(y^{2})}{ y^{2}}=lambda\)
Pour la suite, je ne vois pas la solution!

N'utilise pas les 2 équations différentielles à la fois.

relie le message de 9.33pm

sosmaths

Bonjour,
Je ne comprends pas ce que vous voulez dire!

Bonjour

j'utilise m à la place de lamda.

z solution de z'+mz=m entraine que -y'/y²+m/y=m entraine que -y'+my=my² entraine que y'=my-my² entraine que y'=my(1-y) donc y est solution de (E)

maintenant , il faut faire la réciproque

y solution de (E) entraine que ..........

sosmaths

Bonsoir,
on utilise m à la place de lamda
par réciproque

y solution de (E) entraine que y'=my(1+y) entraine que -z'/z²=m/y(1-1/z) entraine que -z'/z²=mz/z²-m/z² entraine que z'+mz=m entraine que donc z solution de z'+mz=m

Est-ce que c'est obligé de faire la reciproque?

Ok

On pourrait faire implication et réciproque en une seule fois, mais ça oblige à raisonner par équivalence et c'est toujours dangereux.

sosmaths

Bonjour,
Donc faudrait faire
si z est solution de z'+mz=m alors y est solution de (E) et la réciproque si y est solution de (E) alors z est solution de z'+mz=m
Mais pour la dernière question, je ne comprends pas!