Etude d’une fonction auxiliaire
Posté : jeu. 15 déc. 2011 06:09
Bonjour, J'ai du mal à faire un exercice. Si quelqu'un l'amabilté de m'aide, ce serait gentil!
Soit g la fonction définie et dérivable sur IR vérifiant : \(g(x) = 2e^{x}- x - 2\)
1. Calculer la limite de g en −∞ et justifier la limite de g en +∞.
2. Calculer \(g^{,}(x)\) et justifier son signe en fonction des valeurs de x. On donnera notamment la valeur exacte de A.
3. Faire le tableau de variations donné en le complétant et en justifiant par le calcul lavaleur du minimum de la fonction. Donner une valeur approchée à \(10^{-1}\) de ce minimum.
4. Justifier que l’équation \(g(x) = 0\) posséde une unique solution réelle, notée α, sur l’intervalle]−∞; A], et une unique solution réelle, notée β, sur l’intervalle [A; +∞[
5. Vérifier que β = 0. A l’aide de la calculatrice, donner un encadrement à \(10^{-1}\)près de α.
6. A l’aide des questions précédentes, dresser le tableau de signes de g(x) sur IR
Voila ce que j'ai réussi à faire:
1)\(\lim_{x \to -\infty}2 e^{x}=0\) et \(\lim_{x \to -\infty}-x-2=+\infty\) donc \(\lim_{x \to -\infty}2 e^{x}-x-2=+\infty\) Je n'arrive à montrer que \(\lim_{x \to +\infty}2 e^{x}-x-2=+\infty\)!
2)\(g^{,}(x)=2e^{x}-1\) le signe de \(g^{,}\) est de signe de \(e^{x}-1\)
\(e^{x}-1>0\)<=> \(e^{x}>1\)<=>\(e^{x}>e^{0}\)<=>\(x>0\) donc \(g^{,}(x)\) est positive sur \([A;+\infty[\) et négative sur \([A;-\infty[\). Par conséquent, \(g(x)\) est croissant sur \([A;+\infty[\) et décroissant sur \([A;-\infty[\). \(2e^{x}-1=0\)<=>\(2e^{x}=1\)<=>\(x=ln2+1\) donc \(A=ln2+1\)
3)Le minimum est -ln(1/2)-1= -0.3
4) Je ne comprends pas comment faire!
5) Idem
Est-ce bon?
Merci d'avance!
Soit g la fonction définie et dérivable sur IR vérifiant : \(g(x) = 2e^{x}- x - 2\)
1. Calculer la limite de g en −∞ et justifier la limite de g en +∞.
2. Calculer \(g^{,}(x)\) et justifier son signe en fonction des valeurs de x. On donnera notamment la valeur exacte de A.
3. Faire le tableau de variations donné en le complétant et en justifiant par le calcul lavaleur du minimum de la fonction. Donner une valeur approchée à \(10^{-1}\) de ce minimum.
4. Justifier que l’équation \(g(x) = 0\) posséde une unique solution réelle, notée α, sur l’intervalle]−∞; A], et une unique solution réelle, notée β, sur l’intervalle [A; +∞[
5. Vérifier que β = 0. A l’aide de la calculatrice, donner un encadrement à \(10^{-1}\)près de α.
6. A l’aide des questions précédentes, dresser le tableau de signes de g(x) sur IR
Voila ce que j'ai réussi à faire:
1)\(\lim_{x \to -\infty}2 e^{x}=0\) et \(\lim_{x \to -\infty}-x-2=+\infty\) donc \(\lim_{x \to -\infty}2 e^{x}-x-2=+\infty\) Je n'arrive à montrer que \(\lim_{x \to +\infty}2 e^{x}-x-2=+\infty\)!
2)\(g^{,}(x)=2e^{x}-1\) le signe de \(g^{,}\) est de signe de \(e^{x}-1\)
\(e^{x}-1>0\)<=> \(e^{x}>1\)<=>\(e^{x}>e^{0}\)<=>\(x>0\) donc \(g^{,}(x)\) est positive sur \([A;+\infty[\) et négative sur \([A;-\infty[\). Par conséquent, \(g(x)\) est croissant sur \([A;+\infty[\) et décroissant sur \([A;-\infty[\). \(2e^{x}-1=0\)<=>\(2e^{x}=1\)<=>\(x=ln2+1\) donc \(A=ln2+1\)
3)Le minimum est -ln(1/2)-1= -0.3
4) Je ne comprends pas comment faire!
5) Idem
Est-ce bon?
Merci d'avance!