SOS-MATH

Bonjour,
on a f:(x)=\(sqrt{x^2-x^3}\)
On me demande si f est dérivable en 0.
Ainsi j'ai dit pour que f soit dérivable en 0 il faut et il suffit que le rapport de (f(x)-f(x0))/(x-x0) ait une limite finie quand x tend vers 0
Ici, x0=0 et donc f(0)=0 on a donc \(lim_{x \to 0}(f(x)-f(x0))/(x-x0)\) = \(lim_{x \to 0}f(x)/x\)= 0/0 --> F.I
Alors comment faire pour lever cette forme indeterminée ?
Merci d'avance...

Bonjour,

Le début de ton raisonnement est correct. Ensuite, il faut tenir compte de la définition de f.

\(lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) = \(lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}\)= \(lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x^2-x^3}}{x}\)

Ensuite, il te faut envisager deux cas.

1° cas. \(x>0\)

\(f(x)=sqrt{x^2-x^3}=|x|\sqrt{1-x}=x\sqrt{1-x}\)

D'où : \(\frac{f(x)}{x}\)=\(\frac{\sqrt{x^2-x^3}}{x}=\sqrt{1-x}\)

Puis : \(lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x}=1\).

2° cas. \(x<0\)

A toi de le rédiger et de conclure.

Bonne continuation.