SOS-MATH

bonsoir,
on a cette fonction :f(x)=(x^2)(sin(1/x)) , on a doit montrer qu'elle est dérivable sur [0,+inf]
j'ai voulu trouver la limite du taux d'accroissement quand h tend vers 0 mais c'est compliquer :
(f(a+h)-f(a))/h = (((a+h)^2 .sin(1/a+h) )-(a^2.sin(1/a))/h
lim (f(a+h)-f(a))/h =... et la je suis bloquée car je trouve une forme indéterminée 0/0
merci d'avance

Bonsoir,

Lorsque x>0, la fonction f est dérivable comme somme , composée, produit de fonctions dérivables.

Le seul problème est la dérivation en 0. IL faut donc étudier la limite lorsque h tend vers 0 de f(h)-f(0)/h.

Et ça c'est pas compliqué.

sosmaths

Bonsoir Lilly,

Il y a un autre formule pour le taux de variations de f entre x et x0 : T = \(\frac{f(x)-f(x0)}{x-x0}\).
Ici x0 = 0, donc T = \(\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\) soitT = \(\frac{f(x)}{x}\).
Tu peux alors calculer facilement la limite lorsque x tend vers 0 de ce taux de variations.

SoSMath.

D' accord merci

on a une autre question : soit g:[a,b] -> R
x=a -> f'(a)
x appartient a ]a,b]-> (f(x)-f(a)) /(x-a)
on doit montrer que g est continue sur [a,b],j'ai pensé a montrer qu'elle est dérivable au début puis dire puisqu'elle est dérivable elle est continue.Donc je doit comencer par trouver la limite de g,mais je ne sait pas quand elle tend vers quoi, et on sait que je dois trouver lim (f(x)-f(a)) /(x-a) =f'(a) non ?

Bonsoir ,

Utilise le fait que f est dérivable en a. C'est donc que f(x)-f(a)/x-a a une limite réelle et que cette limite c'est ........

Donc ...


sosmaths

Sa limite c'est f'(a) ??? et quand x tend vers b ??

Bonjour,
Que sais-tu de ta fonction f sur l'intervalle ]a;b] ? On te dit sûrement que f est continue sur ]a;b]... Est-ce la même fonction f que celle du début du message
Le problème ne doit se poser qu'en a, il me semble.
Redonne moi l'énoncé complet et l'endroit où tu bloques.

non ce n'est pas la meme fonction f ,celle la on ne la connais pas :
on considere à partir de maintenant une foncton f:[a,b]->R continue et dérivable.On définit alors:
g:[a,b] -> R
x=a -> f'(a)
x €]a,b] ->(f(x)-f(a))/x-a
montrer que la fonction g est continue sur [a,b]

Ce n'est pas la meme fonction f que tout à l'heure :
l'énoncé: on considère à partir de maintenant uen fonction f:[a,b]-> R continue et dérivable .on définit alors
g:[a,b]->R
x=a ->f'(a)
x€]a,b] ->( f(x)-f(a))/x-a
montrer que g est continue sur [a,b]
je bloque sur : comment montrer qu'elle est dérivable (car si elle est dérivable elle est continue)
je pense à si x=a,g=f'(a) donc g est dérivable
si x€]a,b] ,on doit trouver la lim ( f(x)-f(a))/x-a quand x tend vers a ? et on doit trouver f'(a) car ( f(x)-f(a))/x-a est un taux d'acroissement ??

Bonsoir,
Tu ne pourras pas prouver qu'elle est dérivable, car au point a, tu n'as pas assez d'information.
La fonction g est clairement continue sur ]a;b] : pourquoi ?
Pour le point a, il s'agit de montrer :
une fonction g est continue en \(x_0\) si \(\lim_{x\to\,x_0}g(x)=g(x_0).\) et en a, tu utilises le fait que f est dérivable en a

je ne comprend pas :s
on doit démontrer que lim_{x\to\,a}g(x)=g(a) mais comment le savoir ?

Bonjour,
Il faut utiliser la dérivabilité de ta fonction f en a \(\lim_{x\to\,a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime}(a)\) ce qui se traduit avec ce qu'on te dit :
\(\lim_{x\to\,a}g(x)=g(a)\) ce qui est clairement la continuité de g en a (car on dit que g vaut \(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) en dehors de a et vaut f'(a) en a.)