SOS-MATH

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un exercice sur les suites.

(Un) est la suite définie par U0=a et la relation de récurrence :
Un+1=1/2 Un + n² + n pour tout entier naturel n [R]

1. Déterminez un polynôme du second degré P(x) de façon que la suite (an) de terme général an=P(n) vérifie la relation [R].

2.Démontrez que la suite (Vn) de terme général Vn=Un - an est une suite géométrique.

3.Exprimez Vn puis Un en fonction de n et de a

J'aurais besoin d'aide pour la 1ere question,je bloque totalement.Pour les 2 autres questions je pense pouvoir y arriver.

Merci d'avance pour votre aide.

Alina.

Bonjour,

Le polynôme P(x) peut s'écrire ainsi:p(x)=px²+qx+r.
Comme la suite an doit vérifier la relation alors:
\(a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+n^2+n\), donc \(P(n+1)=\frac{1}{2}P(n)+n^2+n\)
Ainsi:
\(P(1)=\frac{1}{2}P(0)\)
\(P(2)=\frac{1}{2}P(1)+1^2+1\)
\(P(3)=\frac{1}{2}P(2)+2^2+1\)
Exprimer ensuite tous les calculs en fonction de p,q et r.
On obtient un système trois équation, trois inconnues qui donne les valeurs de p,r et r.

C'est un peu long mais les calculs sont simples.

N'hésitez pas à nous recontacter si nécessaire.

Merci.

Bonjour, j'ai le même exercice dans mon DM.

J'ai un doute pour les 3 équations.
Vous dites d'exprimer ensuite tous les calculs en fonction de p,q et r.
à partir de P(1) P(2) et P(3) ?
j'obtiens bien un système d'équation mais à 4 inconnues...
p,q,r et P(0)

P(1)=q+p+r=1/2P(0)
P(2)=4q+2p+r=1/2P(1)+3 soit P(2)=7/2q+3/2p+1/2r=3
P(3)=9q+3p+r=1/2P(2)+6 soit P(3)=29/4q+9/4p+3/4r=6

Pouvez-vous m'éclairez?

Anne

Bonjour Anne,

Pour déterminer P(0), revenez à la définition : \(P(0)=a_0=a\). Ensuite, vous semblez avoir toutes les cartes en mains. Attention, vous avez commis une erreur, \(P(2)=4p+2q+r=\frac{1}{2}P(1)+1^2+1=\frac{1}{2}P(1)+2\)

Bonne continuation,

SOS Math

j'ai trouvé la valeur de q, mais le a me gène toujours.

Anne

bonsoir

Si vous avez la valeur de q, vous continuez en déterminant celle de r et de p avec les autres équations.

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